5分でわかる！双曲線の方程式（１）
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この動画の要点まとめ
ポイント
双曲線の定義とは？
双曲線は，2つの定点F,F'からの距離の差が一定であるような点P(x,y)の軌跡と定義されます。楕円が2定点からの距離の和だったのに対し，双曲線は2定点からの距離の差となるのですね。楕円と双曲線の違いは，和と差なんです。
2定点F,F'は，楕円のときと同様に焦点と呼びます。
双曲線のグラフと方程式
c＞a＞0として，2つの 焦点F(c,0)，F'(-c,0) から点P(x,y)までの距離の差を2aとするとき，双曲線のグラフと方程式は次のように表すことができます。
双曲線の定義から |PF-PF'|=2a となりますね。 |PF-PF'|=2a にx,yを代入して計算すると，最終的に (x2/a2)-(y2/c2-a2)=1 が導けます。これが双曲線の方程式となるのですね。
楕円ではa＞c＞0としていましたが，双曲線ではc＞a＞0です。式も，
楕円：(x2/a2) + (y2/ a2-c2 )=1
双曲線：(x2/a2) - (y2/ c2-a2 )=1
であり，符号・分母が異なりますね。
また，上の図では，点(±a,0)が双曲線の頂点となっています。双曲線の頂点は2つあるのです。
焦点がx軸上にある双曲線は左右に分かれる
今回は2つの焦点がx軸上にある双曲線を紹介しましたが，後に2つの焦点がy軸上にある双曲線も登場します。まずは2つの焦点がx軸上にある双曲線のグラフと方程式が，次のポイントのようになることを覚えておきましょう。
2つの焦点がx軸上にある双曲線のグラフは，曲線が左右に分かれます。また，方程式は， x2の分母がa2 ， y2の分母がc2-a2 となることをおさえておきましょう。
「2定点からの距離の差が2a」を式で表すと……
ちなみに， |PF-PF'|=2a から双曲線の方程式を導くまでの計算式は次のようになります。計算過程についても確認しておきましょう。
|PF-PF'|=2aより，
|√{(x-c)2+y2}-√{(x+c)2+y2}|=2a
⇔√{(x-c)2+y2}=±2a+√{(x+c)2+y2}
両辺を2乗して，整理すると，
-a2-cx=±a√{(x+c)2+y2}
さらに両辺を2乗して，整理すると，
(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)
両辺をa2(c2-a2)で割って，
(x2/a2)-(y2/c2-a2)=1
となる。
xとyの2次式で表された曲線である2次曲線のうち，双曲線の方程式について解説していきましょう。