放物線・楕円・双曲線という3種類の2次曲線の式とグラフを学習してきましたね。今回からは，与えられた情報をもとに，2次曲線の式を決定する問題に取り組んでいきます。

長軸の長さと通る1点の座標をもとに，楕円の方程式を求める問題ですね。

まずは，楕円の方程式が2パターンで表されることを思い出しましょう。
(x²/a²)+(y²/b²)=1
であり，①焦点がx軸上にあるときはa＞b＞0，②焦点がy軸上にあるときはb＞a＞0でした。今回の問題で求める楕円が①②のどちらのパターンになるかわかりますか？

重要になるのは，問題文の 「長軸がx軸上，短軸がy軸上」 という部分です。楕円：(x²/a²)+(y²/b²)=1を，長軸がx軸上，短軸がy軸上にあるように図示すると，次のようになりますね。

長軸がx軸上，短軸がy軸上というヒントから，図のように①焦点がx軸上にある横長の楕円のパターンであることがわかりました。つまり，求める式はa＞b＞0の楕円：(x²/a²)+(y²/b²)=1とおけるのです。

さらに，もう1度，図をよく見てみましょう。長軸の長さがわかっているとき，aの値が求められることに気がつきませんか？

図より，長軸の長さは2a，短軸の長さは2bです。長軸の長さが与えられていれば，aの値がわかりますね。

では，a＞b＞0の楕円：(x²/a²)+(y²/b²)=1の式を決定していきます。

長軸の長さが4より，
2a=4
つまりa=2とわかりますね。

(x²/2²)+(y²/b²)=1の式に，今度は通る1点の座標(√2,1)を代入しましょう。すると，
{(√2)²/2²}+(1²/b²)=1
⇔(1/2)+(1/b²)=1
⇔b²=2
よって，求める楕円の方程式は，
(x²/4)+(y²/2)=1
となります。

最後に焦点の座標を求めましょう。a＞b＞0の楕円：(x²/a²)+(y²/b²)=1において，焦点F(c,0),F'(-c,0)とすると， c²=a²-b² が成り立ちました。

a²=4,b²=2なので，
c²=4-2=2
となり，c=√2です。 焦点F(√2,0),F'(-√2,0) と求められますね。