双曲線C：x²-4y²+2x+16y-19=0の式から，中心・頂点・焦点を求めます。(x²/a²)-(y²/b²)=±1の形ではない双曲線の式は，この授業では初めて登場しますね。しかし，慌てることはありません。楕円の一般形を求めるときと同じ手順を踏めば，この式が表す双曲線が見えてきます。

2次曲線の式で，いちばんはじめに行うのは平方完成です。
x²-4y²+2x+16y-19=0をx,yについて整理すると，
x²+2x-4(y²-4y) -19=0
⇔ (x+1)²-1 - 4{(y-2)²-4} -19=0
⇔ (x+1)²-4(y-2)²=4

ここでポイントになるのは，右辺を「=1」の形にすることです。両辺を4で割って，
{(x+1)²/4}-(y-2)²=1
この双曲線の式は，原点(0,0)を中心とする双曲線：(x²/4)-(y²/1)=1をx方向に-1，y方向に+2平行移動した双曲線を表しますよね。したがって，中心の座標は (-1,2) とわかります。

続いて，頂点・焦点を求めましょう。原点(0,0)を中心とする双曲線：(x²/4)-(y²/1)=1を標準形C₀とします。C₀の頂点・焦点をx方向に-1，y方向に+2平行移動すれば，答えとなりますよね。

双曲線(x²/a²)-(y²/b²)=1の頂点は(±a,0)，焦点は(±√(a²+b²),0)となるので，標準形C₀では， 頂点(±2,0) ，焦点(±√(2²+1²),0) となります。

したがって，双曲線Cにおいては，
頂点(±2-1,2)
焦点(±(√5)-1,2)
となりますね。

双曲線の式から中心，頂点，焦点を求める手順がわかりましたか？　ポイントをまとめると，次のようになります。

複雑そうに見えますが，楕円でも双曲線でも大事な点は2つです。
手順①
平方完成して中心の座標を求める
手順②
焦点(あるいは頂点)は標準形を平行移動
これを覚えておきましょう。