x=2cosθ+2,y=3sinθ+3のように，xとyの式が三角関数cosθ,sinθによって表されています。この問題では，θが媒介変数となります。変数θによってxとyの関係が間接的に表されているのですね。

この問題では，曲線Cをx,yの方程式で表し，グラフを描くのがゴールです。ようするに， x=(θの式)，y=(θの式) を手掛かりにして，直接x,yの関係式をつくることができればよいのです。

前回の授業では，媒介変数tで表されたx,yの式について，xの式から「t=～」の式をつくり，yの式に代入しました。しかし，この問題では，
x=2cosθ+2
⇔cosθ=(x-2)/2
としても，y=3sinθ+3にうまく代入できません。いったい，どうすればよいでしょうか？

解き方のポイントは，数学Ⅰで学習した三角比の相互関係の公式の利用です。

sin²θ+cos²θ=1は常に成り立ちます。x=2cosθ+2,y=3sinθ+3の式からは， cosθ=(xの式)，sinθ=(yの式) が作れますね。これらをsin²θ+cos²θ=1に代入すると，うまくx,yの関係式をつくることができるのです。

では，与えられた式からx,yの関係式をつくっていきましょう。x=2cosθ+2,y=3sinθ+3より，
cosθ=(x-2)/2
sinθ=(y-3)/3
と表せますね。このようにして cosθ=(xの式)，sinθ=(yの式) を作ったら，sin²θ+cos²θ=1に代入しましょう。
sin²θ+cos²θ=1
{(x-2)/2}² + {(y-3)/3}² =1
tが消去され，x,yの関係式をつくることができました。これを整理すると，曲線Cの方程式になります。

これは楕円の方程式ですね。中心の座標はカッコの2乗の中身が0になる(x,y)を考え，(2,3)です。グラフを描くには，あと長軸・短軸の長さを求めましょう。x²,y²の分母は，それぞれ2²,3²となっているので，短軸の長さ2×2=4，長軸の長さ3×2=6である縦長の楕円となりますね。