(1/n)sin(nπ/5)という式の極限を求める問題です。三角関数sinが登場し，式がとても難しく見えますね。結論から言うと，この問題ははさみうちの原理を利用して解くことができます。しかし，この授業では公式をいきなり導入することはせず，1つ1つ順を追って考えていきたいと思います。

まずnが∞を目指すときの(1/n)sin(nπ/5)という式が目指す値を考えてみましょう。自然数nについて，n=1,2,3,……と具体的に代入していくと，
sin(π/5)，(1/2)sin(2π/5)，(1/3)sin(3π/5),……
となります。 (1/n)が0を目指すことはわかる のですが， sin(nπ/5)の極限 がまったく見えてこないですね。

ただし，手掛かりがないわけではありません。三角関数sinの重要な性質を思い出してください。sinはどんな値でもとれるわけでなく，必ず -1≦sinθ≦1 の範囲におさまりました。したがって，sin(nπ/5)についても，
-1≦sin(nπ/5)≦1
が成り立つのです。

ここで，
(1/n)の極限は0 ……①
-1≦sin(nπ/5)≦1 ……②
という2つの知識を上手く組み合わせて，(1/n)sin(nπ/5)の極限を考えてみましょう。

②の式の両辺に(1/n)をかけ算すると，
-(1/n)≦(1/n)sin(nπ/5)≦(1/n)
という式ができます。nが自然数である限り，この不等式は成り立ちますね。nが∞を目指すとき，最小値の-(1/n),最大値の(1/n)がともに0を目指すことがわかります。これら極限値0にはさまれた(1/n)sin(nπ/5)の極限について考えてみると，(1/n)sin(nπ/5)の極限も0になる といえますね。解答にまとめると次のようになります。

この問題の解法のように，a_nの極限をはさむ最大値の極限と最小値の極限が一致することから，a_nの極限を求める方法をはさみうちの原理といいます。

はさみうちの原理は，三角関数sin,cosのように最大値，最小値があらかじめ決まっている式でよく活用するので，覚えておきましょう。