数学Bで学習した等比数列を覚えていますか？
{a_n}=2，2²，2³，2⁴，……
のように，同じ値(公比)をかけ算し続ける数列を等比数列と言いました。今回は，等比数列の極限について解説します。

初項r，公比rの等比数列{a_n}は，
{a_n}=r，r²，r³，r⁴，……rⁿ
と表されますね。自然数nの値が∞を目指して進むとき，a_nの極限について考えてみましょう。

例えば，公比r=2のとき，
{a_n}=2，2²，2³，2⁴，……2ⁿ
と表されますね。nが大きくなるほどa_nの値は大きくなり，∞を目指して進むとき，a_nも∞を目指すことがわかります。しかし，だからといって，rⁿの極限が∞と決めることはできません。

例えば，公比r=0.1のとき，
{a_n}=0.1，(0.1)²，(0.1)³，(0.1)⁴，……(0.1)ⁿ
と表されます。nが大きくなるほどa_nの値は小さくなり，∞を目指して進むとき，a_nは0を目指すことがわかります。

つまり，等比数列rⁿの極限は場合分けをして考えなければならないのです。

r=2とr=0.1を例にとりましたが，実は等比数列rⁿの極限は公比rの範囲によって5パターンあります。次のポイントを確認しましょう。

①-1＜r＜1のとき
rⁿの極限は0になります。先ほどの例のr=0.1のように，絶対値が1よりも小さい値をかけ算し続けると，rⁿの値はどんどん0に近づいていくのです。

②r=1のとき
rⁿの極限は1になります。r=1を何度かけ算しても，rⁿの値は1のままですね。

③r＞1のとき
rⁿの極限は∞になります。先ほどの例のr=2のように，1よりも大きい公比をかけ算し続けると，rⁿの値はどんどん大きくなり，∞に向かうのです。

④r=-1のとき
rⁿの極限はありません。r=-1をかけ算し続けると，rⁿの値は+1と-1を交互に取り続け，目指す値が定まりません。このように極限をもたず，正の数と負の数を繰り返すことを 「振動する」 といいます。

⑤r＜-1のとき
rⁿの極限はありません。-1よりも小さい公比をかけ算し続けると，rⁿの値は正の数と負の数を交互に取り続け，目指す値が定まりません。r＜-1のとき，rⁿの極限はなく，±∞で振動します。