a_n+1=(1/2)a_n+2のように，数列の隣り合う項(a_n+1とa_n)の間で常に成り立つ関係式のことを漸化式と言いましたね。今回の問題は，漸化式で定められる数列{a_n}の極限を求める問題です。

といっても，特別な解法手順を覚える必要はありません。まずは，漸化式で定められる数列{a_n}の一般項を求めましょう。その後で，a_nの極限を求めればよいのです。

ただし，漸化式の解き方をしっかり身に着けていない人もいますよね。この機会に振り返っておきましょう。

漸化式では， a_n+1，a_nの代わりにαとおいた式(特性方程式) をつくり，連立方程式のように並べて引きます。すると，
a_n+1-α=r(a_n-α)
と変形できますね。これは，数列{a_n-α}が公比rの等比数列であることを示しています。数列{a_n-α}の初項は(a₁-α)，公比はrであることから，一般項が求められますね。

数列{a_n}の一般項がわかったら，あとはnが∞を目指すときの極限を求めればよいのです。

この手順に従って，実際に問題を解いていきましょう。

a_n+1=(1/2)a_n+2は，a_n+1とa_nの間で常に成り立つ漸化式ですね。もし，a_n+1=(1/2)a_nであれば，公比2の等比数列とわかりますが，a_n+1=(1/2)a_n+2の部分が邪魔をしています。

そこで， a_n+1，a_nの代わりにαとおいた式(特性方程式) をつくり，連立方程式のように並べて引いて「+2」を消しましょう。

a_n+1-α=(1/2)(a_n-α)
と変形できました。これは，数列{a_n-α}が公比1/2の等比数列であることを示していますね。つまり，数列{a_n-α}の初項は(a₁-α)，公比は1/2となり，一般項a_n-αが求められるのです。

式の4行目で，αの値は②の方程式を解くことにより，α=4と求めています。(a_nの式)が出てきましたね。ここまでは，数学Bの「数列」で学習した漸化式の解き方とまったく同じです。

a_nの式は，
a_n=4-3×(1/2)^n-1
とわかりました。あとはnが∞を目指すときの極限を次のように求めましょう。

(1/2)^n-1の極限は，-1＜(公比1/2)＜1より0となりますね。したがって，a_nの極限は定数項の4だけが残ります。