問題のΣの式は，数列a_n={1/n(n+2)}が無限に続くときの項の和を表しています。無限級数は，
①第n項までの和S_nを計算
②S_nの極限を計算
の手順で求めていきましょう。特にこの問題のようなa_n={1/n(n+a)}の数列は，次のポイントのように差分解を利用して解きます。

ポイントの手順に従って具体的にこの問題を解いていきましょう。

求めたい数列a_n={1/n(n+2)}が無限に続くときの項の和を具体的に書き出してみると，

となります。このままでは，式がどんな値を目指すかわかりませんね。そこで，まずは①第n項までの和S_nを計算し， S_n=(nの式) で表すことを考えます。 {1/k(k+2)}=(1/2){(1/k)-1/(k+2)} と差分解できることから，

と式変形しましょう。Σを1/kと1/(k+2)にバラすことができました。Σ(1/k)とΣ{1/(k+2)}を具体的に書き出していくと，次のように同じ値で符号だけが異なる項が次々と現れます。

前後のカッコ内の{(1/3)+(1/4)+……+(1/n)}の部分はプラスとマイナスの符号が異なるので，打ち消し合って0となりますね。残るのは，前のカッコ内の{1+(1/2)}と，後ろのカッコ内の{1/(n+1)+1/(n+2)}なので，次のように 第n項までの和S_n が求まります。

第n項までの和S_n がわかればあとひと息です。無限級数は，S_nの極限を求めればよいですね。
S_n=(1/2){(3/2)-1/(n+1)-1/(n+2)}
のうち，nが∞を目指して進むときの1/(n+1)と1/(n+2)の極限は0になるので，(1/2)×(3/2)だけが残ります。