問題のΣの式は，数列a_n=1/{√(n+1)+√n}が無限に続くときの項の和を表しています。無限級数は，
①第n項までの和S_nを計算
②S_nの極限を計算
の手順で求めてきましたね。特にこの問題のように分母にルートがあるときは，①の計算の際に有理化をしてS_nを求めます。②の計算の結果，S_nの極限が定数になるときを収束と言い，±∞のように定数とならないときは発散と言います。

ポイントの手順に従って具体的にこの問題を解いていきましょう。

まずは①第n項までの和S_nを計算し， S_n=(nの式) で表すことを考えます。 1/{√(k+1)+√k} の分母・分子に{√(k+1)-√k}をかけ算して有理化すると，

となりますね。√(k+1)-√kという差の形に分解できました。√(k+1)と√kについて，それぞれ第n項までの和を具体的に書き出していくと，次のように同じ値で符号だけが異なる項が次々と現れます。

前後のカッコ内の(√2+√3+……+√n)の部分はプラスとマイナスの符号が異なるので，打ち消し合って0となりますね。残るのは，前のカッコ内の√(n+1)と，後ろのカッコ内の1なので，次のように 第n項までの和S_n が求まります。

第n項までの和S_n がわかればあとひと息です。無限級数は，S_nの極限を求めればよいですね。
S_n=√(n+1)-1
は，nが∞を目指して進むときの√(n+1)の極限が∞になるので，S_nの極限も∞となります。極限の値が定数とならないときは発散と言いましたね。