数学Ⅲの第5章「微分法」の第1回の授業では， 微分係数f'(a) から学習していきます。問題は，f(x)=√xという無理関数の微分です。数学Ⅱでは，2次関数や3次関数の微分・積分を学習しましたね。数学Ⅲでは，無理関数や三角関数，指数関数，分数関数など様々な式を微分・積分していきます。

まずは微分について振り返っておきましょう。「微分・積分」は数学Ⅱで学習しましたね。例えば，x³を微分すると，(x³)'=3x² となります。 「xの次数を係数として前に出し，xの次数を1つ減らす」 という微分計算は，みなさんもよく覚えているのではないでしょうか？ しかし， 「微分の定義」 と言われると，あやふやになっている人が多いと思います。

微分は，変数が微小に変化するとき，それに対応する関数の変化の割合の極限を求めることと定義されています。例えば，関数f(x)におけるx=aでの微分について考えてみましょう。x=aでの関数f(x)の値はf(a)ですよね。ここから，xがx=a+0.0000001のようにほんの少しだけ変化したとします。このときの変化を限りなく0に近づけていったときの，f(x)の変化の割合が微分係数f'(a)で表されるのです。この微分係数f'(a)を式で表すと，次のようになります。

上式では，xの微小変化をhで表し，hが0に近づくときの極限を求めていますね。今回は，この定義に従って f(x)=√xを微分していきましょう。

問題文には 「微分係数の定義に従って」 とありますね。よって，関数f(x)がx=3から限りなく0に近いhだけ増加したときの変化の割合を求めていきましょう。

変化の割合は， (yの増加量)/(xの増加量) で求められましたね。
xの増加量
変化前はx=3，変化後はx=3+hなので，(3+h)-3=hです。
yの増加量
変化前はf(3)=√3，変化後はf(3+h)=√(3+h)なので，√(3+h)-√3です。
これより，hが限りなく0に近づくときの変化の割合は，

で表せますね。

hに0を単純代入すると，「0÷0」の不定形になってしまいます。分子が無理式になっていることに注目して，次のように分母・分子に√(3+h)+√3を掛け算し，分母のhを約分で消しましょう。

分母のhが消えて，h=0を単純代入できるようになりましたね。答えは，次のようになります。

微分は定義に従った計算もできるようにしておきましょう。