高校数学Ⅲ
5分で解ける！媒介変数表示の関数の微分（２）に関する問題
- 問題
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この動画の問題と解説
問題
一緒に解いてみよう
媒介変数表示の関数の微分(2)
解説
これでわかる！
問題の解説授業
POINT
つまり，dy/dxは，(yをtで微分した式)/(xをtで微分した式)で求められるのです。
x，yをtで微分する！
まずは，
x=(1+cost)cost，y=(1+cost)sint
をそれぞれtで微分しましょう。積の微分公式より，
dx/dt=(1+cost)'cost+(1+cost)(cost)'
=-sintcost-sint-sintcost
=-sint-2sintcost
dy/dt=(1+cost)'sint+(1+cost)(sint)'
=-sin2t+cost+cos2t
=cost+cos2t-sin2t
となりますね。
dy/dxは「(yをtで微分した式)/(xをtで微分した式)」
dy/dxは，(yをtで微分した式)/(xをtで微分した式) で求められますね。したがって，
dy/dx=(cost+cos2t-sin2t)/(-sint-2sintcost)=-{(cost+cos2t)/(sint+sin2t)}
と答えが求まります。
答え
媒介変数tによって，
x=(1+cost)cost，y=(1+cost)sint
と表される関数について，dy/dxを求めます。媒介変数で表された関数の微分は，x，yをそれぞれtで微分した式を利用して，次のように求めることができますね。