今回は導関数の符号と関数の増減について解説していきましょう。

関数y=f(x)について，f(x)を微分した式を導関数f'(x)と言いましたね。この 導関数f'(x)の符号 ，つまりf'(x)が正なのか負なのかを調べることにより，f(x)の増減を調べることができます。これは数学Ⅱの「微分法・積分法」でも学習した知識ですが，もう一度おさらいをしておきましょう。

ポイントを詳しく解説していきましょう。

導関数f'(x)≧0の範囲では，関数f(x)は増加します。y=f(x)のグラフで考えると，f'(x)≧0の範囲では右上がりの曲線になりますね。

f'(x)≧0のときに，f(x)が増加する理由はわかりますか？ 注目ポイントは，接線の傾きです。導関数f'(x)は接線の傾きを表しましたね。f'(x)≧0であるxの範囲では， 接線の傾きが0以上になる(右上がりになる) ので，曲線も右上がりのグラフになります。y=f(x)のグラフが右上がりということは，f(x)は増加しているとわかるわけですね。

導関数f'(x)≦0の範囲では，関数f(x)は減少します。y=f(x)のグラフで考えると，f'(x)≦0の範囲では右下がりの曲線になりますね。

f'(x)≦0のときに，f(x)が減少する理由を考えてみましょう。f'(x)≦0であるxの範囲では， 接線の傾きが0以下になる(右下がりになる) ので，曲線も右下がりのグラフになります。y=f(x)のグラフが右下がりということは，f(x)は減少しているとわかるわけですね。

数学Ⅱで登場する曲線の方程式は，2次関数や3次関数でした。しかし，数学Ⅲでは，三角関数，指数関数，対数関数など様々な関数が登場します。このような関数でも，導関数の符号から関数の増減を調べることができるのです。