曲線y=e^xsinx (0≦x≦2π)の凹凸を調べ，変曲点の座標を求める問題です。

曲線y=f(x)の凹凸は，2回微分したf''(x)の符号から判別できます。f''(x)の符号が正である区間では，曲線は下に凸，f''(x)の符号が負である区間では，曲線は上に凸となります。また，下に凸，上に凸が入れ替わる変曲点においてはf''(x)=0となります。

y=e^xsinxを微分して，
y'=(e^x)'sinx+e^x(sinx)'
　=e^xsinx+e^xcosx
　=(sinx+cosx)e^x
さらに微分したy''は，
y'' =(sinx+cosx)'e^x+(sinx+cosx)(e^x)'
　 =(cosx-sinx)e^x+(sinx+cosx)e^x
　 =2e^xcosx
と求まりました。

曲線の凹凸は，y''の符号から判別します。
y''=2e^xcosx=0
となるのは，cosx=0のときですね。0≦x≦2πより，
x=(π/2)，(3π/2)
y''の符号は， x=(π/2)，(3π/2) を分岐点に変わることがわかります。この情報をもとに，増減表を書いてみましょう。

増減表は，上から順に「xの値」「y''の符号」「yの凹凸または値」を記します。y''の符号はcosxによって決まるので，「x：0→(π/2)→(3π/2)→2π」と進むとき，「cosx：正→0→負→0→正」と進みます。y''の符号が正である区間では，曲線は下に凸，y''の符号が負である区間では，曲線は下に凸となります。

下に凸，上に凸が入れ替わる点が変曲点なので，変曲点のx座標は(π/2)と(3π/2)ですね。

変曲点のy座標は，x=(π/2)，(3π/2)を代入して，
x=(π/2) のとき，
y=e^(π/2)×sin(π/2)=e^(π/2)×1= e^(π/2)
x=(3π/2) のとき，
y=e^(3π/2)×sin(3π/2)=e^(3π/2)×(-1)= -e^(3π/2)
と求められます。