y=e^-2x2 のグラフの概形をかく問題です。式を見ただけでは，どんなグラフの形かわかりませんね。そこで，次の3つの手順にしたがってグラフの形を特定していきます。

手順①
まずは，y=f(x)の増減を調べます。f'(x)の符号から グラフが右上がり(↗)，右下がり(↘) となる範囲がわかりますね。このとき極値も求めましょう。
手順②
次に，y=f(x)の凹凸を調べます。f''(x)の符号から グラフが上に凸，下に凸 となる範囲がわかりますね。このとき変曲点も求めましょう。
手順③
最後に，y=f(x)が ±∞を目指して進むときの極限 を調べます。これによって，曲線の左側，右側の形が決定できます。

では，この3つの手順にしたがって，y=e^-2x2 のグラフの概形をかいていきましょう。

手順①「増減を調べる」にはy'の符号が，手順②「凹凸を調べる」にはy''の符号が必要となります。y'，y''を合成関数の微分によって求めると，

となりますね。合成関数の微分は， (外の関数の微分)×(内の関数の微分) でした。e^-2x2では，外の関数がe^□，内の関数が-2x²となっています。

y'=0，y''=0の方程式を解くと，

となり，y'の符号変化の分岐点がx=0，y''の符号変化の分岐点がx=±(1/2)と予測がつきます。

手順①「増減を調べる」，手順②「凹凸を調べる」の仕上げに，増減表 を書きましょう。「x，y'，y''，y」の4つの情報を並べるので，次のような4段重ねの表になります。

一番上の段には，xの値を書きます。y'=0となる x=0 と，y''=0となる x=±(1/2) を書き込んでおきました。

二番目の段には，y'の符号を書きましょう。
y'=-4xe^-2x2
より，符号を決めるのは -4x の部分です。x=0を分岐点として，それぞれの範囲の符号は，

三番目の段には，y''の符号を書きましょう。
y''=4(4x²-1)e^-2x2
より，符号を決めるのは (4x²-1) の部分です。x=±(1/2) を分岐点として，それぞれの範囲の符号は，

四番目の段には， yの増減(凹凸) と値を書きましょう。y=e^-2x2にx=0を代入すると，極大値は1とわかります。 x=±(1/2) を代入すると，変曲点のy座標は1/√eとわかります。

yは，単純に右上がり(↗)か，右下がり(↘)かを記すのではなく，凹凸も加味して書き入れています。例えば，y'＞0かつy''＞0であれば，右上がり(↗)かつ接線の傾きも増加となります。y'＞0かつy''＜0であれば，右上がり(↗)かつ接線の傾きは減少となります。同様に，y'＜0かつy''＜0であれば，右下がり(↘)かつ接線の傾きも減少，y'＜0かつy''＞0であれば，右下がり(↘)かつ接線の傾きは増加となります。

増減表により，グラフの概形はほぼ把握できました。最後に，曲線の左側，右側の形を定めましょう。xが±∞を目指して進むときの極限を求めると，

y=e^-2x2は限りなく0に近づくことがわかります。つまり，曲線の左側，右側はx軸に近づいていくのですね。これらの情報によってグラフを仕上げると次のようになります。