y=x+(1/x) のグラフの概形をかく問題です。分母にxがあるので，x=0でグラフは分断されるというイメージをあらかじめもっておきましょう。分数関数において，具体的にグラフをかきおこすには，次の4つの手順が必要となります。

手順①
まずは，y=f(x)の増減を調べます。f'(x)の符号から グラフが右上がり(↗)，右下がり(↘) となる範囲がわかりますね。このとき極値も求めましょう。
手順②
次に，y=f(x)の凹凸を調べます。f''(x)の符号から グラフが上に凸，下に凸 となる範囲がわかりますね。このとき変曲点も求めましょう。
手順③
さらに，y=f(x)が ±∞を目指して進むときの極限 を調べます。これによって，曲線の左側，右側の形が決定できます。
手順④
分数関数のときには，漸近線も求めます。y=x+(1/x)であれば，分母が0となるx=0が漸近線の1つです。漸近線はもう1つあるのですが，それは後に詳しく解説しましょう。

では，この4つの手順にしたがって，y=x+(1/x) のグラフの概形をかいていきます。

手順①「増減を調べる」にはy'の符号が，手順②「凹凸を調べる」にはy''の符号が必要となります。y'，y''を求めると，

となりますね。 y'=0，y''=0の方程式を解くと，

となり，y'の符号変化の分岐点がx=±1と予測できます。x≠0と制限されるので，y''=0の解はありません。

手順①「増減を調べる」，手順②「凹凸を調べる」の仕上げに，増減表 を書きましょう。「x，y'，y''，y」の4つの情報を並べるので，次のような4段重ねの表になります。

一番上の段には，xの値を書きます。y'=0となる x=±1 と，グラフが分断される境界線となる x=0 を書き込んでおきました。

二番目の段には，y'の符号を書きましょう。
y'=(x²-1)/x²
より，符号を決めるのは 分子の(x²-1) の部分です。x=±1を分岐点として，それぞれの範囲の符号は，

三番目の段には，y''の符号を書きましょう。
y''=2x/x⁴
より，符号を決めるのは 分子2x の部分です。x=0 を分岐点として，それぞれの範囲の符号は，

四番目の段には， yの増減(凹凸) と値を書きましょう。y=x+(1/x)にx=±1を代入すると，x=-1のとき極大値-2，x=1のとき極小値2とわかります。

yは，単純に右上がり(↗)か，右下がり(↘)かを記すのではなく，凹凸も加味して書き入れています。例えば，y'＞0かつy''＞0であれば，右上がり(↗)かつ接線の傾きも増加となります。y'＞0かつy''＜0であれば，右上がり(↗)かつ接線の傾きは減少となります。同様に，y'＜0かつy''＜0であれば，右下がり(↘)かつ接線の傾きも減少，y'＜0かつy''＞0であれば，右下がり(↘)かつ接線の傾きは増加となります。

増減表により，グラフの概形はほぼ把握できました。最後に，曲線の左側，右側，漸近線に近づくときの形を求めましょう。xが±∞を目指して進むときの極限を求めると，

y=x+(1/x)は，x=0を漸近線の1つとします。xが右側から0を目指して進むときの極限，左側から0を目指して進むときの極限を求めると，

さらに，y=x+(1/x)は，y=xを漸近線とすることがわかりますか？ これは，f(x)=x+(1/x)，g(x)=xとして，xが∞を目指すとき，
lim{f(x)-g(x)}
を求めるとわかります。
lim{f(x)-g(x)}
=lim{x+(1/x)-x}
=lim(1/x)
xが∞を目指すとき，lim{f(x)-g(x)}は0に限りなく近づきますね。つまり，xが∞を目指すとき，f(x)=x+(1/x)の値と，g(x)=xの値がほとんど同じになることを意味するのです。

よって，y=x+(1/x)は，x=∞を目指すとき，y=xに限りなく近づいていきます。同様に，x=-∞を目指すときも，y=xに限りなく近づいていきます。

これらの情報からグラフをかくと，次のような答えになります。

分数関数のグラフの概形をかくコツをつかめましたか？ 分数関数特有のポイントは，漸近線でした。分母が0になる値に加え，次の解法を覚えておくとよいでしょう。