今回は，第二次導関数と極値について解説します。関数f(x)について，f(x)を2回微分したf''(x)を第二次導関数と呼びました。f''(x)は，曲線y=f(x)の凹凸を調べるときに役立ちましたね。実は，f''(x)の役割はそれだけにとどまらないのです。

いま，曲線y=f(x)について，f'(x)=0がx=α，βの異なる2つの解をもつとします。このとき，f'(α)=0，f'(β)=0ということがわかりますが，これだけの情報では，f(α)，f(β)が極値だとは判断できません。しかし，これにf''(x)の符号の情報が加わると，極大値，極小値の判定ができるようになるのです。

このポイントの内容を詳しく解説しましょう。

まず，㋐のパターンです。

曲線y=f(x)について，x=αのときにf'(α)=0となるとします。このとき，x=αにおける曲線の接線の傾きf'(α)は0だと言えますね。さらに，f''(α)＞0であるとき，曲線は下に凸です。言い換えると，曲線の接線の傾きf'(x)は，x=αで増加していることがわかります。

つまり，y=f(x)は，x=αにおいて接線の傾きが0かつ増加することになるのです。よって，㋐のようにx=αで下に凸な曲線となり，f(α)は極小値だとわかります。

次に，㋑のパターンです。

曲線y=f(x)について，x=βのときにf'(β)=0となるとします。このとき，x=βにおける曲線の接線の傾きf'(β)は0だと言えますね。さらに，f''(β)＜0であるとき，曲線は上に凸です。言い換えると，曲線の接線の傾きf'(x)は，x=βで減少していることがわかります。

つまり，y=f(x)は，x=βにおいて接線の傾きが0かつ減少することになるのです。よって，㋑のようにx=βで上に凸な曲線となり，f(β)は極大値だとわかります。

これまで，極大値，極小値の判定は，f'(x)=0の解に加えて，f'(x)の符号変化を増減表で読み取ってきました。第二次導関数の符号からも極大値，極小値の判定ができることをおさえておきましょう。