f(x)=x+2cosx (0≦x≦π)の極値を求める問題です。f'(x)=0の解を求め，第二次導関数を使って極大値・極小値を判定しましょう。

「f'(α)=0かつf''(α)＞0」ならば「f(α)は極小値」，「f'(β)=0かつf''(β)＜0」ならば「f(β)は極大値」 だと判定できます。

まずは，f'(x)=0の解を求めます。
f'(x)=1-2sinx=0
より，sinx=(1/2)です。0＜x＜πでは，
x=(π/6)，(5π/6)
とわかりました。ただし， x=(π/6)，(5π/6) で極大値・極小値をとるかはまだわかりません。

極大値・極小値を判定するために，f''(x)の符号を見ましょう。
f''(x)=(1-2sinx)'=-2cosx

x=(π/6) のとき，
f''(π/6) =-2cos(π/6)=-√3 ＜0
つまり，f(π/6)で極大となり，その値は，
f(π/6)=(π/6)+2cos(π/6)= (π/6)+√3
です。

x=(5π/6) のとき，
f''(5π/6) =-2cos(5π/6)=√3 ＞0
つまり，f(5π/6)で極小となり，その値は，
f(5π/6)=(5π/6)+2cos(5π/6)= (π/6)-√3
です。