e^x≧x+1 を証明する問題です。

不等式を証明する際は，
(大きい方)ー(小さい)≧0
を目指すのが一般的です。この問題でも，
e^x-(x+1)≧0
の証明を目指しましょう。このとき，(左辺)をf(x)とおいて，y=f(x)のグラフをかき，x軸の上側にグラフがあることを証明するのがポイントになります。

不等式に等号が含まれているときは，等号が成立するときのxの値も求めましょう。曲線y=f(x)がx軸と接するときのx座標が，等号成立するxの値となります。

f(x)=e^x-(x+1)とおきます。f(x)=e^x-(x+1)のグラフをかくために，f(x)の増減や極値を求めていきます。

f'(x)=e^x-1
において，f'(x)=0となるのは，
e^x-1=0
つまり，x=0 のときですね。

x＜0のときのf'(x)の符号はマイナスです。
x=-1を代入した
f'(-1)=(1/e)-1＜0
よりわかります。
また，x＞0のときのf'(x)の符号はプラスです。
x=1を代入した
f'(1)=e-1＞0
よりわかります。

したがって，次のように増減表を作成できます。

増減表をもとにy=f(x)のグラフの概形をかくと，

曲線y=f(x)について，グラフが常にx軸を含む上側にあることがわかります。したがって，f(x)≧0が成り立ちます。また，曲線y=f(x)がx軸と接するときのx座標が，等号成立するxの値となるので，等号成立はx=0となりますね。証明の記述は，以下のように書くとよいでしょう。