x≧0のとき，cosx≧1-(x²/2) を証明する問題です。前回，前々回の授業同様に，(大きい方)ー(小さい方)≧0 つまり cosx-{1-(x²/2)}≧0 の証明を目指して計算していきましょう。ただし，実はこの問題，1か所だけ計算が上手く進められない部分がでてきます。

f(x)=cosx-{1-(x²/2)}とおきます。y=f(x)のグラフをかくために，f(x)の増減や極値を求めていきます。

f(x)を微分すると，
f'(x)=-sinx+x
f'(x)=0となるのは，
x=sinx
ですが，この方程式，みなさん解けますか？シンプルな式に見えますが，x=sinxの解はなかなか見つかりません！

このように，f'(x)=0の解が見つからないときは，方針転換しましょう。f'(x)=0の解を見つけることを諦めて，f'(x)の符号がプラスかマイナスかを見極めにいきます。

f'(x)の符号は，曲線y=f'(x)のグラフから求めます。y=f'(x)のグラフが，x軸より上側にあればf'(x)＞0，x軸より下側にあればf'(x)＜0です。y=f'(x)のグラフの概形を求めるために，y=f'(x)を微分して，
f''(x)=1-cosx
-1≦cosx≦1より，1-cosx≧0であるから，f''(x)≧0が常に成り立ちます。つまり，f'(x)は増加関数なのです。

増加関数f'(x)におけるx≧0での最小値はf'(0)です。
f'(0)=0-sin0=0
つまり，f'(x)は最小値0で，増加しつづける関数となります。これをグラフにすると，

f'(x)≧0であることがわかりました。つまり，f'(x)の符号は常にプラス，f(x)も増加関数だと言えますね。

増加関数f(x)において，最小値が0以上であれば，f(x)≧0が成り立ちます。x≧0での最小値はf(0)となり，
f(0)=cos0-{1-(0²/2)}=1-1=0
つまり，f(x)は最小値0で，増加しつづける関数となります。これをグラフにすると，

f(x)≧0であることがわかりました。よって，x≧0で，
f(x)=cosx-{1-(x²/2)}≧0
が証明できましたね。等号成立は，f(x)=0となるときなので，x=0のときです。証明の記述は，以下のように書くとよいでしょう。

不等式f(x)≧0において，f'(x)=0の方程式が解けないときの解法はつかめましたか？ ポイントをまとめると以下のようになります。