方程式(e^x/x)=aの実数解の個数を求める問題です。この方程式を満たすxの値が，1個なのか2個なのか，あるいは3個，4個……なのかを答えればよいのですね。

方程式の解の個数は，式だけ見てもまったく手掛かりがつかめません。実数解の個数といわれたときは，次のポイントのようにグラフで考えるのが解法のセオリーです。

曲線y=(e^x/x)のグラフと，直線y=aとの共有点の個数を調べればよいのですね。実際にこの問題で，実数解の個数を求めていきましょう。

曲線y=(e^x/x)のグラフと，直線y=aとの共有点の個数を調べます。式y=(e^x/x)をパッと見ただけでは，曲線の概形はわかりません。ただし，問題文にはxが∞を目指すときの極限が∞だと与えられていますね。これより，グラフの右側はどんどん上昇していくことがわかります。

他にも，極限を求めておきましょう。xが-∞を目指すときの極限は，次の計算をすると0ですね。

つまり，グラフの左側はx軸に近づいていくことがわかります。

さらに，y=(e^x/x)は分数関数であり，x≠0です。分母が0となるx=0を漸近線にもちます。y軸を境に分断された曲線をイメージしてください。曲線がx=0に右側から近づくときの極限と，左側から近づくときの極限はそれぞれ，

y軸に右側から近づくときは∞，左側から近づくときは-∞とわかりました。

極限からわかった 曲線y=(e^x/x) の特徴を整理すると，
・左側はx軸に近づく
・y軸に左側から近づきながら下降
・x≠0
・y軸に右側から近づきながら上昇
・右側は上昇
となります。

では，曲線の形をもっと具体的に決めていきましょう。

導関数y' は，商の微分公式より，

x≠0の範囲でy'=0 となるのは，
x-1=0
となるとき，つまり x=1 です。y'の符号は，(x-1)が決定し，x=1の前後で符号が変化します。

x≠0のとき，
x＜1では，
(x-1)＜0となり，y'＜0ですね。よって，yは減少しています。
1＜xでは，
(x-1)＞0となり，y'＞0ですね。よって，yは増加しています。

これらの情報をもとに増減表をかくと，

x=1では，
y=(e/1)= e
で，極小値となっています。

これまでに集めた 曲線y=(e^x/x) の特徴を整理すると，
・左側はx軸に近づく
・x＜0では，右下がり
・y軸に左側から近づきながら下降
・x≠0
・y軸に右側から近づきながら上昇
・0＜x＜1では，右下がり
・x=1では，極小値e
・1＜xでは，右上がり
となります。

よって，次のようなグラフが描けます。

いよいよ，このグラフをもとに直線y=aとの交点の個数を求めていきましょう。

交点の個数を考えるときは，直線y=aを上下に動かすのがわかりやすいです。

まず，y=aがy=eよりも上側にあるときは，交点2個ですね。ここから，直線を少しずつ下げていくと，
y=e で，曲線の極小値と交わり，交点1個
0≦y＜e で，曲線と交わらず，交点0個
y＜0 で，曲線と1点で交わり，交点1個
とわかります。

交点の個数が，まさしく方程式の実数解の個数示すので，次のように答えが出せます。