今回は，関数f(x)の1次近似式について解説します。

複雑で扱いにくい関数について，その一部を単純な関数である1次関数y=ax+bで近似させることを1次近似といいます。

例えば，hが限りなく0に近い値のとき，log(1+h)という式はhの関数ですね。ここに，h=0.01を代入すると，
log(1+h)=log(1.01)
という式が出てきますが，log(1.01)の値は簡単には求められません。

そんなときに活躍するのが1次近似式なのです。log(1+h)は，実は1次近似式で表すと，
log(1+h) ≒ 1×h+log1
と，とても単純な式で近似されます。これにより，log(1.01)は「だいたい(1×0.01)+log1=0.01に近い値なんだな」と予測できるわけです。

ある関数f(x)の1次近似式をつくるときは，曲線y=f(x)の接線の方程式がカギになります。

順を追って説明しましょう。例えば，曲線y=f(x)があり，f(x)はx=aで微分可能だとします。ここから0に限りなく近いhだけ進んだx=a+hの値f(a+h)について考えます。

x=aにおける接線の方程式は，傾きf'(a)，通る1点の座標が(a，f(a))であることから，接線公式より，
接線：y=f'(a)(x-a)+f(a)
と，立式できますね。接線上で，0に限りなく近いhだけ進んだx=a+hの値は，
y=f'(a)(a+h-a)+f(a)
⇔ y=f'(a)h+f(a)
とhの1次式で表せます。

一方，関数f(x)において，x=aの値はf(a)です。ここから0に限りなく近いhだけ進んだx=a+hの値は，f(a+h)です。

hが限りなく0に近いとき，下の図の曲線と接線は限りなく近づいていきますよね。

つまり，x=a+hにおける接線の値①と曲線の値②が限りなく近づくことになり，複雑な関数の値②を単純な関数の値①に近似できるのです。

この式を，関数f(x)の1次近似式と呼びます。

以下に，1次近似式の説明をポイントとしてまとめておきました。問題1，問題2では，実際に1次近似式を求めていきましょう。