今回は， f(ax+b) の不定積分について解説します。f(ax+b)とは，関数f(x)の中に1次関数ax+bが組み込まれた合成関数を表します。例えば，(3x+1)⁴は，f(x)=x⁴の中に，1次関数3x+1を組み込んだ合成関数です。このような合成関数f(ax+b)の不定積分は，どのような式になるのでしょうか？

合成関数f(ax+b)を積分するときは，1次関数ax+bの部分をtとおくのがポイントです。t=ax+bとおくと，合成関数はf(t)と置き換えられ，次のように積分計算できます。

このポイントについて詳しく解説しましょう。

1次関数ax+bが組み込まれた合成関数f(ax+b)では，
t=ax+b
とおきます。すると，f(ax+b)の不定積分は，
∫f(ax+b)dx=∫f(t)dx
と立式できますね。

ただし，∫f(t)dxのdxは，f(t)の式をxで積分するという意味です。f(t)の式は，tで表される式なので，tで積分するという意味のdtに変形しなければなりません。いま，t=ax+bなので，両辺をxで微分して，
(d/dx)t=a
これを分数式のよう式変形して，dxをdtで表すと，
dx=(1/a)dt
となるわけです。

∫f(t)dxにおいて， dx=(1/a)dt より，
∫f(ax+b)dx=∫f(t)dx=(1/a)∫f(t)dt
と式変形できますね。f(t)をtで不定積分して，係数(1/a)をかけ算したものが，f(ax+b)の不定積分となるわけです。

大事なポイントは，合成関数f(ax+b)の積分は，1次関数ax+bの部分をtとおくという点です。このポイントを使って問題1，問題2を解いていきましょう。