√(2x+3)を不定積分する問題です。√(2x+3)は合成関数ですね。f(x)=√xの中に，1次関数2x+3を組み込んだ合成関数と見ると，次の解法が使えますね。

1次関数ax+bを組み込んだ合成関数の積分は，t=ax+bとおくのがポイントです。この問題では，t=2x+3とおきましょう。すると，
∫√(2x+3)dx=∫√(t)dx= ∫t^(1/2)dx
と式変形できます。

∫t^(1/2)dx は，t^(1/2)をxで不定積分するという意味です。t^(1/2)をtで積分するには，dxをdtに書き換える必要がありますね。いま，t=2x+3より，両辺をxで微分して，
(d/dx)t=2
つまり，dx=(1/2)dtとなるわけです。これを ∫t^(1/2)dx に代入して，
∫t^(1/2)dx=(1/2)∫t^(1/2)dt
tで積分できる式に変形できましたね。

t^(1/2)の積分は(2/3)t^(3/2)です。積分定数Cをつけて，
(1/2)∫t^(1/2)dt=(1/3)t^(3/2)+C
となりますね。ここで，tをxの式に戻すことを忘れないでください。tはあくまで積分しやすいように置きかえた文字なので，問題で与えられた文字xに戻す必要があります。