今回は置換積分法の第4回目の授業です。sin²xcosxの不定積分を扱いましょう。

sinxcosxの不定積分であれば，三角関数の2倍角の公式sinxcosx=(1/2)sin2xを使った式変形をすれば，積分できます。しかし，今回の問題のように，sin²xcosxの形は，三角関数の公式を使った変形がうまくいきません。実は，この問題，t=cosxと置いて積分するパターンだと知っておく必要があります。

パターンを見抜くコツは，1つしかないcosxに注目することです。1つしかないcosxの部分を，cosxdxのカタマリで見ます。そして，残った式をt=sinxの関数と見ると，積分計算を進めることができます。……といっても，抽象的なポイントではわかりませんよね。具体的に，sin²xcosxを積分していきましょう。

∫(sin²xcosx)dxは，
∫(sin²x)cosxdx
と見ます。

ここで，sinxをtに置きかえると，
t=sinx
ですね。この式の両辺をxで微分すると，
(d/dx)t=cosx
より，
dt=cosxdx
cosxdxをdtに置きかえることができますね！

cosxdx=dt
を使うと，
∫(sin²x)cosxdx
=∫t² dt
tの不定積分の式に書き換えられました。

t²の積分は(1/3)t³です。積分定数Cをつけて，答えが出てきますね。答案では，tをxの式に戻すことを忘れないでください。tはあくまで積分しやすいように置きかえた文字なので，問題で与えられた文字xに戻す必要があります。

sin，cosが入り混じった関数の積分方法がわかりましたか？ 今回は，1つしかないcosxに注目して，t=sinxとおきました。これがもし，1つしかないのがsinxだった場合，u=cosxとおいて計算を進めることになります。

大事なポイントは，1つしかないsinx，cosxに注目することです。ここをしっかりおさえておきましょう。