今回は置換積分法の第5回目の授業です。sin³xの不定積分を扱いましょう。

sin²xcosxや，cos²xsinxであれば，1つしかないcosx，sinxに注目して，置換積分できることを前回学習しましたね。しかし，今回は，sin³xとsinだけの式になっています。

こんなときは，強引に1つしかないsinxを作り出すことを考えましょう。三角関数の公式sin²x=1-cos²xを使うと，次のように式変形できますね。

1つしかないsinxの部分を，sinxdxのカタマリで見ます。そして，残った式をt=cosxの関数と見ると，積分計算を進めることができます。……といっても，抽象的なポイントではわかりませんよね。具体的に，sin³xを積分していきましょう。

∫sin³xdxは，
∫(sin²x)sinxdx
=∫(1-cos²x)sinxdx
と見ます。

ここで，cosxをtに置きかえると，
t=cosx
ですね。この式の両辺をxで微分すると，
(d/dx)t=-sinx
より，
-dt=sinxdx
sinxdxを-dtに置きかえる ことができますね！

sinxdx=-dt
を使うと，
∫(1-cos²x)sinxdx
=∫(1-t²) -dt
= ∫(t²-1)dt
(t²-1)の不定積分の式に書き換えられました。

t²の積分は(1/3)t³，-1の積分は-tです。積分定数Cをつけて，答えが出てきますね。答案では，tをxの式に戻すことを忘れないでください。tはあくまで積分しやすいように置きかえた文字なので，問題で与えられた文字xに戻す必要があります。

大事なポイントは，1つしかないsinx，cosxに注目することです。ここをしっかりおさえておきましょう。