sin3xcosxの不定積分を求める問題です。2つの関数の積で表される式は，「部分積分法を使う」のがセオリーですが，この問題ではうまくいきません。部分積分法を使っても，関数の積の形が解消されず，計算が進まないのです。

では，sin3xcosxはどう積分すればよいでしょうか？ m，nを整数とするとき，sinmxcosnxで表される不定積分には解法のパターンがあります。次のポイントをおさえておきましょう。

sinmxcosnxは，和や差の式に分解することを目指します。このときに三角関数の加法定理を使いましょう。
sin(mx+nx)=sinmxcosnx+cosmxsinnx……①
として，sinmxcosnxを作り出すことができますね。ただし，cosmxsinnxの項は邪魔です。よって，nxの符号をマイナスにした加法定理を考え，
sin(mx-nx)=sinmxcosnx-cosmxsinnx……②
①+②により，
sin(mx+nx)+sin(mx-nx)=2sinmxcosnx
sinmxcosnxを和の式に分解することができます。

ポイントの解法を使って，sin3xcosxの不定積分を求めましょう。積の式を，和や差の式に分解するため，三角関数の加法定理を使います。
sin(3x+x)=sin3xcosx+cos3xsinx……①
cos3xsinxの項は邪魔なので，符号をマイナスにした加法定理を考え，
sin(3x-x)=sin3xcosx-cos3xsinx……②
①+②により，
sin4x+sin2x=2sin3xcosx
sin3xcosxを和の式に分解することができました。

sin3xcosx=(1/2)(sin4x+sin2x) より，求める不定積分は， ∫(1/2)(sin4x+sin2x)dx です。sin4xとsin2xを積分すると，それぞれ-(1/4)cos4x，-(1/2)cos2xになりますね。