x√(3x²+1)を，0から1の区間で定積分する問題です。「積分した式を求める」→「(上端)ー(下端)」の順番で計算していきましょう。

x√(3x²+1)の積分方法を覚えていますか？ このように， 無理関数が登場する積 を積分するときには，ルートの中身をtとおく置換積分法が有効でした。

置換積分法を振り返りながら，x√(3x²+1)を不定積分していきます。まず，t=3x²+1とおくと，
∫x√(3x²+1)dx=∫x√(t)dx……①
また，t=3x²+1の両辺を微分すると，
(d/dx)t=6x つまり，xdx=(1/6)dt
これと①より，
∫x√(3x²+1)dx=∫x√(t)dx= (1/6)∫√(t)dt
とtの式に置きかえることができます。

t=3x²+1とおくとき，
∫x√(3x²+1)dx=(1/6)∫√(t)dt
です。しかし，
∫₀¹x√(3x²+1)dx=(1/6)∫₀¹√(t)dt
とすると，完全な誤りになってしまいます。

なぜだか，わかりますか？ ∫₀¹f(x)dxの式は，xが0から1まで動くときの積分を表していますね。このとき，tも0から1まで動くわけではありません。t=3x²+1より，
x=0のとき，t=3×0²+1=1
x=1のとき，t=3×1²+1=4
つまり，tは1から4まで動くのです。tについての積分の式は，積分区間を1から4にして，
∫₀¹x√(3x²+1)dx=(1/6)∫₁⁴√(t)dt
とする必要があるのです。

定積分の置換積分では，置換した後の積分区間の変化を必ず求めるようにしてください。

√tを積分し， 上端の4，下端の1を代入 して「(上端)ー(下端)」を計算すれば，答えが求まりますね。

定積分の置換積分は，積分区間の変化を見落とすことが多いです。 (xの式)をｔに置換するとき，必ずtの範囲を求める よう習慣づけましょう。