√(1-x²)を，0から1の区間で定積分する問題です。「積分した式を求める」→「(上端)ー(下端)」の順番で計算していきましょう。

無理関数が登場する式 を積分するときには，ルートの中身をtとおく置換積分法が有効でした。

ただし，この問題では，t=1-x²とおくと，
∫√(1-x²)dx=∫√(t)dx……①
また，t=1-x²の両辺を微分すると，
(d/dx)t=-2x つまり，xdx=-(1/2)dt……②
①，②をあわせて，①をtの積分の式にしたいのですが，うまくいきませんね。

実は，√(1-x²)の積分で，t=1-x²とおくのは無理筋なのです。

では，いったいどう考えたらよいのでしょうか？ √(1-x²)の中身が，もし2乗の形であれば，ルートがうまく外れてくれますね。 (1-x²)を□²に置換 する方法を考えましょう。

1-〇²=□²
これって，三角関数で見た公式ですよね。そう，
1-sin²θ=cos²θ
です。 √(1-x²)は，x=sinθとおくことで，
√(1-x²)=√(cos²θ)=|cosθ|
とうまくルートを外すことができます。

x=sinθとおいて，この問題を解いていきましょう。まず，積分区間の確認です。xは0から1まで動くので，θは，
x=0のとき，sinθ=0より，θ=0
x=1のとき，sinθ=1より，θ=(π/2)
となります。つまり，θは0から(π/2)まで動くことがわかりますね。

x=sinθの両辺をθで微分すると，
(d/dθ)x=cosθ より，dx=cosθdθとなります。

よって，x=sinθとおくとき，
∫₀¹√(1-x²) dx
=∫₀^(π/2){√(1-sin²θ)} cosθdθ
=∫₀^(π/2)cos²θdθ
と置換できました。

cos²θを積分するときは，三角関数の2倍角の公式が使えます。
cos2θ=2cos²θ-1
より，次のように積分計算を進めることができますね。

あとは，上端の(π/2)，下端の0を代入して「(上端)ー(下端)」を計算すれば，答えが求まります。

x=sinθの置換を，はじめて見る問題で思いつくのはなかなか厳しいです。この問題を例に， √(a²-x²)の定積分で使える解法 として，x=asinθの置換を覚えておくとよいでしょう。