今回は，偶関数・奇関数の定積分について解説します。偶関数・奇関数の定積分をおさえておくと，定積分の計算が少しラクになります。

ある関数f(x)について， f(-x)=f(x) が成り立つとき，関数f(x)を偶関数と言います。例えば，f(x)=x²や，g(x)=x⁴+x²を考えてください。(-x)²=x²，(-x)⁴+(-x)²=x⁴+x²より，f(x)，g(x)は偶関数ですね。

これに対して，ある関数f(x)について， f(-x)=-f(x) が成り立つとき，関数f(x)を奇関数と言います。例えば，f(x)=xや，g(x)=x³+xを考えてください。(-x)³=-x³，(-x)³+(-x)=-{x³+x}より，f(x)，g(x)は奇関数ですね。

f(x)が偶関数であるとき，つまり，f(-x)=f(x)のとき，y=f(x)のグラフはy軸について対称になります。f(x)=x²の放物線がよい例になります。このとき，
∫_-a^ax²dxは，下の斜線部の面積を表します。

グラフがy軸について対称だということを考えると，面積の合計を表す∫_-a^ax²dxは，y軸の右側の面積を表す∫₀^ax²dxを2倍した値であるとわかりますね。

f(x)が奇関数であるとき，つまり，f(-x)=-f(x)のとき，y=f(x)のグラフは原点について対称になります。f(x)=x³の曲線がよい例になります。このとき，
∫_-a^ax³dxは，下の斜線部の面積を表します(x軸より下側の斜線部の面積はマイナスと考える)。

グラフが原点について対称だということを考えると，面積の合計を表す∫_-a^ax³dxは，y軸の右側と左側で相殺しあって0になるとわかりますね。

関数f(x)について，-aからaの区間で定積分を求めるとき，f(x)が偶関数，あるいは奇関数であれば，計算を大幅に省略できます。特に，f(x)が奇関数であれば，-aからaの区間の定積分は0になります。

この計算テクニックを使えば，計算量を大幅に減らし，計算ミスも防げるようになります。