f(x)=x+∫₀^πf(t)sintdt を満たす関数を求める問題です。パッと見ただけでは，何から手をつけていいかよくわかりませんよね。とくに， ∫₀^πf(t)sintdt の部分が複雑です。

まずは，∫₀^πf(t)sintdtの意味から考えていきましょう。∫₀^πf(t)sintdtは，0からπまでの区間で，f(t)sintを定積分した値を表します。注目するポイントは，積分区間です。f(t)がどんな式かわかりませんが，積分区間が「0からπ」という具体的な値なので， ∫₀^πf(t)sintdtの値は定数 だとわかります。

同じ定積分でも，∫_a^xf(t)dtは，上端がxなので，xの関数の式になります。定積分した後に，xの式になるか，定数になるかの区別をしっかりつけましょう。

定数∫₀^πf(t)sintdt=kとおきましょう。すると，
f(x)=x+k
です。これにより，正体不明だったf(t)が，f(t)=t+kと表せます。

よって，k=∫₀^πf(t)sintdtに，f(t)=t+kを代入して，
k=∫₀^π(t+k)sintdt
⇔ k=∫₀^πtsintdt+k∫₀^πsintdt
これを計算すると，次のようにkの値が求まります。

求めたいのはf(x)の式なので，f(x)=x+kにk=-πを代入すれば答えとなります。