今回は，y軸の周りの回転体の体積について解説します。

y軸の周りの回転体とは，どんな図形かイメージできますか？ まずは，曲線y=f(x)を設定します。この曲線y=f(x)を，y=aからy=bまでの区間で，y軸を軸にしてくるっと回転させます。すると，y軸を回転の軸とする立体ができあがります。曲線y=f(x)上の1点1点が，y軸を中心とする円を描くので，図のような立体ができあがります。

では，曲線y=f(x)をy軸の周りに回転させたときにできる立体の体積はどう求められるでしょうか？

立体をy軸に垂直な平面で切断したときの断面積をS(y)とするとき，
∫_a^bS(y)dy
で体積を求めることができますね。yで積分する点に注意しましょう。y軸周りの回転体の場合，断面積の半径がxとなるので，S(y)=πx²。よって，次のポイントのようにまとめられます。

ようするに，曲線y=f(x)を，aからbまでの区間で，y軸の周りに回転させた立体の体積Vは，
V= ∫_a^bπx²dy
で求められるのです。