円x²+y²=r²を，y軸の周りに回転させてできる立体の体積Vを求める問題です。y軸の周りの回転体は， 断面積の半径をx と見て，次のように求めることができます。

まずは，求める立体がどのような図形になるか，を考えます。円x²+y²=r²を図示してみると，

求める立体は，上図の曲線をy軸周りにクルッと回転させた図形，つまり半径rの球だとわかります。球の体積公式を使っても求まりますが，ここでは積分を使って解いていきましょう。

断面積S(y)はどう表せるでしょうか？図の立体をy軸に垂直な平面で切断したとき，半径がxとなることから，
S(y)=πx²
このとき，x²+y²=r²より，x²=r²-y²と変換して，
S(y)=π(r²-y²)
です。したがって，S(y)=π(r²-y²)を，-rからrまでの区間でyで積分して，
∫_-r^rπ(r²-y²)dy
ここで，(r²-y²)は偶関数より，
∫_-r^rπ(r²-y²)dy
=2∫₀^rπ(r²-y²)dy
= 2π[(r²y-(1/3)y³]₀^r
この計算を進めると，答えが求まります。