今回のテーマは、 力学的エネルギー保存の法則 についてです。 力学的エネルギー とは、皆さんがこれまでに学習した 運動エネルギーと位置エネルギーを足しあわせたもの を指します。運動エネルギーと位置エネルギーの和にいったいどんな法則が成り立つのでしょうか。

本題に入る前に、 仕事 と 運動エネルギーの関係 について復習しておきましょう。

図は、初速度v₀[m/s]のボールに力Fを加えてs[m]移動させたところ、ボールが加速してv[m/s]になった様子を表しています。
このとき、 力Fが物体にした仕事W は
W=F[N]×s[m]= Fs
と表され、 運動エネルギーの増加分に一致 しましたよね。つまり、
Fs=(1/2)mv²−(1/2)mv₀²
が成立します。

力がした仕事は運動エネルギーの増加分になっている ということをしっかりとおさえておきましょう。

では、 重力が仕事をした場合 で、先ほどの関係式を考えていきましょう。下の図を見てください。

ボールが地面から高さh[m]の点Aの位置にあり、速度v[m/s]で下向きに移動をしています。物体は下に落ちるほど勢いがつくので、ボールの速度も大きくなるということは、イメージできますね。ボールが地面からの高さH[m]の点Bを通過したとき、速度は大きくなり、V[m/s]へ変化したとしましょう。このとき、[重力がした仕事]=[運動エネルギーの増加分]の関係が成り立ちますね。

[運動エネルギーの増加分] は、
(1/2)mv²−(1/2)mv₀² ……①
で求めることができます。では[重力がした仕事]はどうでしょうか？m[kg]のボールには、 下向きにmg[N]の力 が一定にはたらきます。また、ボールは点Aから点Bまで h−H[m]を移動 しています。したがって[重力がした仕事]は
mg[N]×(h−H)[m]= mg(h−H) [N・m] ……②
となりますね。

①の[運動エネルギーの増加分]と②の[重力がした仕事]は等しい ので、以下のような式が成り立ちます。

この式のカッコを外して、整理すると次のようになります。

この式をよく見てください。左辺は 運動前の運動エネルギー(1/2)mv²と位置エネルギーmghの和 になっていますね。一方、右辺は 運動後の運動エネルギー(1/2)mV²と位置エネルギーmgHの和 になっています。 「運動エネルギー+位置エネルギー」は、運動前であっても運動後であっても一定になっている ことに気付けましたか。

今後は運動エネルギーを K 、位置エネルギーを U で表し、その和K+Uを 力学的エネルギー と呼びましょう。そうすると、式から 最初にボールが持っていた力学的エネルギーと最後にボールが持っていた力学的エネルギーは等しい ということがわかりますね。

今回のように 保存力だけが物体にはたらく場合、物体が持つ力学的エネルギーは最初と最後で保存 されます。保存というのは、元の量がそのままの大きさに保たれる、という意味です。前の力学的エネルギーと後の力学的エネルギーが保存されることを 力学的エネルギー保存の法則 と呼ぶのです。

今回のように 保存力である重力だけがはたらく場合、力学的エネルギー(K+U)は保存される ということをしっかり覚えてください。