今回は 仕事と運動エネルギーの関係 について学びます。まずは前回のおさらいをしましょう。 運動エネルギー とは、 運動している物体が持つ仕事をする能力 のことでしたね。質量m[kg]のボールが速度v[m/s]で移動しているとき、このボールが持つ運動エネルギーKは、以下のように表すことができました。

この式をもとに、「物体にした仕事」と「物体のもつ運動エネルギー」との関係を考えていきましょう。

まずは、次の図を見てください。

速度v₀[m/s]で右向きに飛んでいる質量m[kg]のボールに、速度と同じ方向へF[N]の力を加え、s[m]移動させました。このとき、ボールには力が加わるので、 ボールの速度が大きく なり、vに変化したとします。

Fのした仕事をW、仕事する前の運動エネルギーをK₀、仕事した後の運動エネルギーをKとすると、実は次のような関係式が成り立ちます。

右辺の K−K₀は運動エネルギーKの増加分 であり、この式から 仕事をした分だけ運動エネルギーKが増加する ということがわかりますね。運動エネルギーの増加分を毎回K−K₀と書くのは少し手間がかかるので、運動エネルギーKの増加分はΔKと表しましょう。

Δ は「 デルタ 」と読み、「 増加分 」や「 変化分 」を表します。

単純に言い表すと、 物体に仕事をした分だけ、その物体がもつ運動エネルギーが増加する ということになりますね！

……といっても、なぜ仕事と運動エネルギーの間にW=K−K₀という関係が成立するのか気になる人は多いのではないでしょうか。先ほどの図を確認しながら、この式を導きましょう。

始めの速度v₀[m/s]と最後の速度v[m/s]、そして移動距離s[m]がわかっています。等加速度運動では、最初の速さv₀と最後の速さvを用いて時間を含まないで立式ができましたね。そう、 時間含まずの式 です。
2ax=v²−v₀²

上の式において、x=s[m]ですね。さらに、加速度a[m/s²]は、ボールについての運動方程式よりF=ma⇔a=F/mとなります。代入すると、
2ax=v²−v₀²
⇔ 2(F/m)s=v²−v₀²
ここで、上の式をよく見てください。 物体にした仕事Fs が隠れています！上の式をFsについての式と見て整理すると、次のようになります。
Fs= (1/2)mv² −(1/2)mv₀²

右辺の (1/2)mv² は 仕事をした後の運動エネルギー で、 (1/2)mv₀² は 仕事する前の運動エネルギー です。したがって、この式は次のポイントのように書き直すことができるのです。

力Fがした仕事Wは 運動エネルギーの増加分 を表すということが、導けましたね。物体にした仕事は運動エネルギーの増加、あるいは変化に等しいことが式から示すことができました。