2物体が斜めに弾性衝突する問題ですね。 弾性衝突 であるという条件はとても便利です。弾性衝突では 運動エネルギーが保存される 点を意識して、問題を解いていきましょう。

今回の問題では、斜衝突後に斜めに進んでいった2つの物体の成す角度α＋βが一体いくらになったのかということを求めます。

衝突前後で、物体系には 外力 がはたらいていません。したがって、 運動量が保存 されています。ここで運動量保存の式を立てたいのですが、注意してほしいことがあります。それは 運動量がベクトル であるということです。今回与えられている情報は 速さ で、 大きさのみを表す物理量 ですね。速さでは運動量の示す 方向が分からない ので、単純に衝突前の運動量mv₀と、衝突後の運動量mv+MVが等しいと運動量保存の式を立てることができないのです。

では、 斜衝突の場合に運動量の保存を表す にはどうしたらよいでしょうか？

方法は2つあります。
1つ目は、 分解 です。衝突前の物体Aの速さv₀をx方向とy方向に分解して表すという方法です。cosやsinを用いることになるので少し手間が掛かりそうですね。

この分解よりももっと楽な方法があります。
方法その2、 作図 で捉える方法です。 衝突前の運動量と衝突後の運動量をベクトルで表したとき、それぞれのベクトルの和が一致する ということを覚えていますか？ 今回の問題では、衝突前後のそれぞれのベクトルを実際に 作図 して、考えてみましょう。

では、衝突前の運動量から考えていきましょう。衝突前、物体Bは静止しているので、物体Aが持つ運動量だけ考えればよいですね。物体Aの運動量は、右向きで、大きさはmv₀です。

次に衝突後の運動量を考えます。物体Aの運動量は斜め上向きに大きさmvで、入射方向と成す角度がαになります。物体Bの持つ運動量の大きさはmVになり、入射方向と成す角度がβとなります。

ここで、α＋βの値を求めるには、もうひとつ考えなくてはならない条件があります。この衝突は 弾性衝突 でしたね。弾性衝突では 衝突の前後で運動エネルギーが保存される のです。衝突前の運動エネルギーと衝突後の運動エネルギーが同じだということを式で表してみましょう。

式をよくみると1/2とmが消去できますね。
したがって、
v₀² = v² + V²
となります。ここで先ほど作図した三角形をもう一度確認しましょう。

すべての辺にmが付いているので、3辺の比は v₀:v:V です。この三角形の辺の長さには v₀² = v² + V² という 三平方の定理 が成り立っているので、 作図した三角形はv₀を斜辺とした直角三角形 だということがわかります。1つの角度が90°なので、残りの角度αとβの合計は90°になります。

この結果から、 弾性衝突の斜衝突ではどんな位置にあったとしても2物体の進む方向の成す角度は必ず直角になる ということが言えますね。