前回は、 円運動の速度 について学習しました。円運動における 速度の方向 は 円に対して接線方向 、 速度の大きさはv=rω でしたね。

今回はこの内容を踏まえて、 円運動の加速度 について考えていきます。

半径r[m]の円周上を、角速度ω[rad/s]で等速円運動する物体を例にして考えてみましょう。

時刻0[s]のときの物体の速度の方向は 接線方向 ですね。速度は方向を持つのでvベクトルと表します。またt秒後の速度をv'ベクトルとします。 等速円運動では、速さは常に一定の値 となりますが、 向きも考慮した速度は刻々と変化している ので、 0秒での速度とt秒での速度を区別する のです。

加速度は、 1秒あたりにどれだけ速度が変化しているか を表します。速度の変化分を経過時間で割れば良いので、次のような式で表すことができます。

注意してほしいのは、 必ずベクトルで考える という点です。向きを考慮せず、速さだけで考えた場合、等速円運動は速さが一定なので、速さの変化は0、加速度も0になってしまいます。速度の変化は、方向も考慮した v'ベクトル−vベクトル の ベクトルの引き算 で考えましょう。

v'ベクトル−vベクトル の ベクトルの引き算 を実際に作図して確認してみましょう。時刻0[s]のときの速度は上向きで、大きさがvです。一方、時刻t[s]のときの速度は、図では左斜め向きで大きさvです。

2つのベクトルは速さが同じなので、矢印の長さも同じです。また、2つのベクトルの成す角度はθですね。図で、v'ベクトル、vベクトルのベクトルの始点をそろえ、vベクトルの終点からv'ベクトルの終点に向けてベクトルを伸ばすと、v'ベクトル−vベクトルを表します。

ここで 瞬間の加速度 について考えましょう。0[s]の瞬間の加速度を考えるにはt[s]のtを0に近づける必要があります。tを0に近づけていくと、v'ベクトル−vベクトルの成す角度は徐々に小さくなりますね。θがとても小さくなると、vベクトルとv'ベクトル − vベクトルの成す角度は90°に近づいていき、θが0にほぼ等しくなった場合には90°とみなすことができるようになります。よって 瞬間の加速度は速度の方向に対して90°の方向 、つまり 円の中心方向 ということがわかります。

次に加速度の大きさを考えてみましょう。加速度の大きさaは、v'ベクトル−vベクトルの大きさを時間tで割り算すれば求めることができますね。

v'ベクトル−vベクトルの大きさ は、 半径v、中心角θのおうぎ形の弧の長さに等しい とみなすことができます。したがって、 v'ベクトル−vベクトルの大きさ は、(半径)×(中心角)= vθ と表せますね。加速度aを求める式に代入すると
a=vθ/t
と表せます。

加速度の式a=vθ/tをよく見てください。θ/tは円運動の 角速度 を表していますね。加速度aの大きさを角速度ωで表すと、次のようになります。
a=vω
さらに、v=rωを代入すれば、次のように表すこともできます。
a=rω²

円運動の加速度の向きと大きさをしっかりと覚えておきましょう。