円すい振り子についての問題です。円すい振り子とは、糸と物体が描く軌道が円すい状になる振り子のことを指します。図からどんな運動をし、どんな力がはたらいているか想像できるでしょうか？

(1)では糸の張力、(2)では円運動の角速度をωとしたとき物体にはたらく遠心力を求めます。遠心力を求めるということは、観測者の立場はどこになるでしょうか。基本的に観測者は外から運動を眺めますが、 遠心力を考える場合、観測者は物体の上に乗っている と考えます。観測者が物体の上にいると仮定して、物体にはたらく力を図示していきましょう。

円運動でハッキリさせておかなくてはいけない場所は、 円運動の中心 です。ここでは、底面の円の中心となりますね。物体には、重力mgと、接触力として糸から張力Sがはたらきます。さらに、今回は 遠心力ma が円の中心から遠ざかる方向にはたらきます。

物体にはたらく力をすべて描きこみました。物体にはたらく張力Sは、鉛直成分Scosθと水平成分Ssinθに分解して記しています。

糸の張力Sを求めましょう。鉛直方向の力のつりあい
Ssinθ=mg
を考えれば、張力Sが求められますね。

遠心力maを求めましょう。加速度aは、角速度ωを用いて a=rω² と表せますね。さらに、円の半径rは、円運動の中心から物体までの距離ℓsinθとなることに気づけましたか？この結果を遠心力maに代入すれば、答えが導き出されますね。

(3)では角速度ωを求めます。(1)(2)の問題で張力Sと遠心力maを求めましたね。 観測者から見ると物体は静止している ので、 水平方向の向心力Ssinθと、遠心力maはつりあっています。
したがって、
Ssinθ=mℓω²sinθ
として、角速度ωについて解けばよいですね。

最後に周期Tを求めましょう。角速度ωがわかれば、 ω=2π/T から求めることができますね。公式を暗記するのではなく、 周期は1周(2π)するのにかかる時間 だということから、 ω=2π/T の公式を導き出せるようにしておきましょう。