鉛直面内の円運動について、実戦的な問題を解いていきましょう。問題文には「なめらか」とあるので、摩擦は考えなくて良いですね。

(1)では、最下点Aを通過する直前と直後の物体の受ける垂直抗力を求めます。A点を通過する前と後で区別していることがわかりますね。まずは通過前について考えましょう。下の図を見てください。

通過前は水平に運動しているので受ける力は下向きに重力mg、そして床から垂直抗力Nを受けます。Aを通過する直前までは単純に水平面を移動しているだけなので、mgとNは単なるつり合いだと考えられますね。

問題はA点を通過直後です。通過直後では半径rの 円運動が始まります 。円運動では、円の中心方向に加速度aを持ちます。観測者が物体と一緒に回ると考えると、 遠心力ma がはたらきますね。

円の中心向きにはたらく垂直抗力N'と外向きにはたらく重力mgと遠心力maのつりあいから、垂直抗力N'が求められます。ここで、加速度aは半径rと速度vを使って表しましょう。

(2)は最高点Bで物体が円筒面から離れないための速さVの範囲を求める問題です。今回のような円運動では、速度が足りないと途中で円から離れて落ちてしまいます。円筒面から離れることなくB点を通過するためには、どんな条件が必要でしょうか。

B点ではたらく力を考えてみましょう。B点ではまず重力mgを受けます。さらに面から垂直抗力を受けますね。この垂直抗力をN_Bとします。

B点で、物体が円筒面から離れない条件は、上図の 下向きの力mg+N_Bとつりあう力がはたらく ときですね。ここで、観測者が物体と一緒に回ると考えると、物体には遠心力が外向きにはたらき、大きさはmaになります。

つまり、鉛直下向きの力N_Bと重力mgに対して，鉛直上向きの遠心力maがつりあうことになるので次の式が成り立ちます。
N_B+mg=ma
加速度aは、Bでの速度Vと半径rを使って表し、N_Bについて解いてみましょう。

B点で面から離れないということは、B点での垂直抗力がちょっとでもあればいいということになります。つまり、物体が離れない条件は垂直抗力N_Bが0以上であれば良いという事に注意して以下のようにVの範囲を求めましょう。

(3)では、最高点Bで物体が離れないための最下点Aでの速さvの範囲を求めます。(2)で円筒面から離れないための点Bの速さVの範囲は求めましたね。次に最下点で通過する速さの範囲を求めましょう。

ここで、A点からB点へ移動する中で あるものが保存されている ことに気付いていますか。移動中の物体には保存力である重力と、非保存力である垂直抗力がはたらきます。垂直抗力は物体の移動に対し直角にはたらくので、仕事W_Nは0になります。したがって、 保存力である重力だけが仕事をする ので、この物体は 力学的エネルギーが保存 されているのです。

A点を位置エネルギーの基準と考えます。 A点での運動エネルギーは(1/2)mv²で、位置エネルギーは 0です。一方、 B点での運動エネルギーは(1/2)mV²、位置エネルギーは高さが2rであることから2mgr となります。これらを踏まえて力学的エネルギーの保存の式を立て、(2)の結果を利用して速さvの範囲を求めましょう。

(2)の結果を利用して、等式を不等式に直すのがポイントですね。鉛直面内の円運動は、運動方程式、力のつりあい、力学的エネルギーの保存を考えれば良いことをおさえておきましょう。