鉛直面の半円上の物体の運動についての問題です。問題文より「なめらか」とあるので摩擦は考えません。また「静かに置く」とあるので初速度は0ですね。

(1)は小球が面から離れる瞬間の鉛直線に対する角度をθとして、cosθを求めよという問題です。

まず、小球の運動を確認しましょう。静止した状態から小球がコロコロと右に転がり、角θで面から離れたとします。面から離れた後、小球は放物運動をしますね。求めたいのは離れる瞬間のcosθですが一体どのようにして解けばいいのでしょうか。小球が面から離れる瞬間の速度をvと置き、この場所ではたらく力をすべて書きましょう。

小球には下向きに重力mg、面から垂直抗力Nがはたらきますね。この 垂直抗力Nが0になる ときこそが、 小球が面から離れる瞬間 だということがわかりますか？

垂直抗力Nを求めるために、円の中心方向の力のつりあいに注目しましょう。まず、重力は中心方向に対して斜めなので分解します。

重力の中心方向の成分はmgcosθ となりました。

次に、円の中心から遠ざかる向きにはたらく力を考えます。物体には、まず垂直抗力Nがはたらきます。さらに、この運動は円運動なので円の中心向きに加速度aがありますね。観測者が物体とともに移動すると考えると、加速度の逆向きの 中心から遠ざかる方向に遠心力ma がはたらきます。

観測者から見ると物体は静止しているので、力のつりあいから、
mgcosθ=N+ma
と立式できました。ここで加速度aは未知の値なので、半径Rと速度vを用いてa=v²/Rと変換しましょう。さらに、 面から物体が離れるとき、垂直抗力Nの値は0 となります。

なお、この物体の運動は等速円運動ではなく、接線方向にも加速度があります。ただし、接線方向は中心方向と垂直なので、中心方向のつりあいの式には関わりありません。

求めたいのはcosθの値です。v²=gRcosθの式において、vは未知の値なのでこれも変換する必要がありますね。

未知数vを変換するためには、もうひとつ式が必要ですね。ここで、問題文の「 なめらかな 半球」という言葉に注目しましょう。なめらかということから半球には摩擦力がはたらきません。また非保存力である垂直抗力は物体の移動に対し直角にはたらくので仕事をしません。したがって、保存力のみが仕事をする運動となるので、 運動エネルギーと位置エネルギーを合計した力学的エネルギーが保存される ことが分かりますね。

半球の最下点を位置エネルギーの基準点とします。
小球を 頂点 に静かに置いたときは初速度0なので 運動エネルギーが0、位置エネルギーは高さがRなのでmgR です。 θの場所を通過 するとき、速度はvなので 運動エネルギーは (1/2)mv²、高さはRcosθより 位置エネルギーは mgRcosθ**となります。

①から、 v²＝gRcosθ とわかっています。上の②の式に代入して、cosθについて解くと、次のように答えが求まりますね。

(2)は小球が面から離れるときの速さを求めよという問題です。(1)で導いたv²＝gRcosθの式にcosθ=2/3を代入すれば簡単に求めることができますね。