万有引力についての問題を解いてみましょう。

(1)は地上での重力加速度gを地球の質量M、半径R、万有引力定数Gで表す問題です。質量mの物体には重力mg[N]がはたらくことは皆さんご存知ですね。実は、この 重力の正体は地球と物体の間にはたらく万有引力 なのです。問題の趣旨は、その身近な万有引力である重力を表すのに必要な重力加速度gを、万有引力定数Gで表そう、というものです。

まず、問題文で与えられている条件を整理して図に書き込んでいきましょう。

質量mの物体は地球にFの力で引っ張られるとします。地球の質量はMであり、地球からボールまでの距離は地球の重心から地上までの距離なので半径Rに等しいですね。

重力mgの正体は万有引力G×(Mm/R²)なので、それぞれを表す式はイコールで結ぶことができますね。求めたい重力加速度gについて解くと答えが出てきます。

今まで重力加速度gは9.8[m/s²]と覚えてきました。この 重力加速度gは、地球の質量と半径によって決まる値 ということが、今回の結果からわかりましたね。

ちなみに、月面上での重力加速度は地球上とは違う値になります。 月面上での重力加速度は、(1)の式で、地球の半径と質量を、それぞれ月の半径と月の質量に置きかえれば良い んですね。このように、どのような天体であっても、天体の半径と質量が分かれば、重力加速度を求めることができます。

次に地球の質量Mを求めます。(1)の計算結果を質量Mについての式に直せば、簡単に求めることができますね。

問題文で与えられている数値の有効数字はいずれも2桁なので答えも2桁に揃えます。このように、重力加速度gについての式から地球の質量を求めることができました。地球の質量は、想像を絶するほど大きいことがわかりますね。