地球と人工衛星についての問題です。まずは、与えられた情報を図に描きこんでみましょう。

地球の重心から地表面までの距離がRで、地表面から人工衛星までの距離がhですね。人工衛星の質量はmです。人工衛星にはたらく万有引力Fの方向は、地球の重心向きですね。

(1)では、万有引力の大きさFを求めましょう。ここで必要な情報は 重心同士の距離 です。 地球の重心と人工衛星の重心の距離 は図から R+h ですね。地表からの距離hが重心の距離だと勘違いしないように注意しましょう。

また地球の質量が問題文では与えられていないので仮にMと置いて立式します。

今回使える記号はm、g、h、Rのみなので、GとMを変換しないとダメですね。ここで、 重力 とは、 地表における万有引力 のことである、ということを利用しましょう。地球の表面にある物体は、地球の重心向きに重力を受けます。この力はf=mg[N]ですね。したがって、重力加速度gが以下のような式で表されます。

①をGMについての式に直して、最初に求めた万有引力Fの式に代入しましょう。

このように、万有引力定数Gと地球の質量Mが与えられていない場合は、地表の物体の重力が万有引力で表わされることを利用して、重力加速度gと地球の半径Rの式に変換することができます。

(2)では、人工衛星の速さvを求めます。

人工衛星の速度は接線方向ですね。人工衛星は円運動をしているので円運動の特徴である加速度を考える必要があります。加速度は円の中心向きで、大きさをaとします。この円運動ですが、人工衛星を外から眺めるときは運動方程式を、人工衛星と一緒に観測者が回るときは遠心力を用いた力のつり合いを考えれば良いのでした。

今回は、人工衛星と観測者が一緒に回ると考えてみましょう。観測者から見ると物体には 遠心力ma=m(v²/R+h) が円の中心から遠ざかる向きにはたらきます。一方、円の中心に向かう力は、(1)で計算した万有引力Fであり、これと遠心力がつりあうのですね。

つりあいの式を速さvについて解けば、答えを導き出すことができましたね。

高度hが0とは、 人工衛星が地表スレスレを飛んでいる 状態のため、 第一宇宙速度 となります。

(2)で求めたvの式にh=0を代入すると、 人工衛星が地表スレスレを飛ぶ ときの速さv₁が求められますね。

求めたv₁をよく見ると、10の3乗とあります。つまり、第一宇宙速度は秒速7.9kmとなります。