今回は 鉛直ばね振り子 について解説していきます。水平面上で左右に単振動する水平ばね振り子に対し、鉛直面上で上下に単振動するのが鉛直ばね振り子です。

天井からばねをつるし、その下端に質量mのおもりをとりつけます。すると、下図のように、ばねは自然長からdだけ伸びてつりあいました。

自然長の位置からdだけ伸びた つりあいの位置を原点o とします。 おもりにはたらく力が0となる場所が単振動の中心 になるので、 つりあいの位置が中心となる のです。

おもりにはたらく重力をmg、ばね定数をkとすると、上下の力のつりあいの式から、
mg=kd
となりますね。

次に、質量mのおもりをとりつけた鉛直ばね振り子を上下に振動させることを考えます。おもりを手でつかみ、x=0から下げて手を離すと、鉛直ばね振り子は上下に振動しますね。

このときの鉛直ばね振り子の周期Tを求めてみましょう。つりあいの場所を原点に定め、下向きを正としたx軸を与えます。

おもりが位置xにあるとき、はたらく力はどうなりますか？おもりにはたらく下向きの力は、重力のmgです。これに対し、上向きの力、つまり、ばねがおもりを引っ張り上げる力はいくつになるでしょうか？原点のときと同じkxと考えがちですが、違います。ばねの伸びは自然長からの距離なのでd+xになりますね。つまり、ばねが引っ張り上げる力はk(d+x)です。

これらの情報をもとに運動方程式を立てます。下向きを正としているので
ma=mg−k(d+x)
ですね。ここで、原点のときに求めたつり合いの式mg=kdを代入してみましょう。
ma=mg−kd−kx
⇔ma=mg−mg−kx
⇔ ma=−kx
となり、おもりが単振動をすることがわかりますね。

運動方程式 ma=−kx から、鉛直ばね振り子の単振動の角振動数ωと周期Tを計算することができます。
加速度aの式に直すと
a=−kx/m
ここで、a=−ω²xより、
−ω²x=kx/m
つまり、 ω=√(k/m) と求まります。さらに、周期Tと角振動数ωにはT=2π/ωという関係があるので、ωを代入しましょう。

と、周期Tが表せました。周期Tの式は、水平ばね振り子の単振動の周期と全く変わりませんね。つまり、 水平ばね振り子でも、鉛直ばね振り子でも周期T=2π√(m/k) となります。

今回の重力のように、 ばねの力以外にはたらく力が一定のとき、周期は2π√(m/k) で求めることができるということをしっかりと覚えてください。