鉛直ばね振り子の問題ですね。問題文から、図における点Oがつりあいの位置となり、小球は点Oを中心とした単振動を行うことがわかります。また 静かに とあるので 初速度は0[m/s] となります。

ばね振り子の周期は公式として覚えてしまいましょう。周期Tは、ばね定数kと質量mを用いて、

と表せます。この式は弾性力がはたらいており、かつ弾性力以外の力が一定であれば使うことができます。

ただし、T=2π√(m/k)をそのまま答えとすることはできません。小球の質量mは問題文に与えられていますが、ばね定数kは未知の値ですね。つまり、ばね定数kは、問題文に与えられているm，d，gの式に変換する必要があります。小球の原点での力のつりあいから式を立てましょう。

点Oでは重力が下向きにmg、上向きに弾性力がkdはたらきます。mg=kdより、ばね定数kが求められるので、あとはばね振り子の周期の公式に代入しましょう。

(2)では、点Oを通過するときの小球の速さを求めます。点Oからdだけおもりを引き下げてから初速度0で離したときの様子を図にしてみましょう。

求めたい速さvは、単振動の中心での速さですね。小球にはたらく力は、重力と弾性力であり、いずれも保存力です。 保存力のみがはたらくとき に考えられるものはなんでしたか。そう、 力学的エネルギー保存の法則 ですね。

鉛直ばね振り子の位置エネルギーUは(1/2)kx² で表すことができました。ここで、 位置エネルギーを表すときの基準点の位置は点Oとなる ことに注意してください。xは自然長からの伸びではなく、 つりあいの位置からの距離 になるのです。運動エネルギーをK、位置エネルギーをUとして、以下のように解けば速さvが求められます。