単原子分子の 内部エネルギー を、温度T、気体定数R、モル数nを用いて表す問題です。
問題文のアボガドロ数Nとは、分子1molの数のことでしたね。

(1)は分子1個あたりの運動エネルギーの平均値を、温度T、気体定数R、アボガドロ数Nを用いて表す問題です。

この問題では、与えられた圧力Pの式と、状態方程式PV=nRTを連立させることを考えます。次のように式変形しましょう。

圧力の式の右辺の分母にVがあるので、状態方程式PV=nRTの左辺と合わせるため、両辺にVをかけます。これが式①です。状態方程式PV=nRTにおいて、気体はn=1[mol]なので式②のように表せますね。そして①と②をイコールで結びます。求めたいのは、分子1個あたりの運動エネルギーの平均値 (1/2)mv² (vは平均値) なので、以下のように式変形していきます。

計算結果から、 運動エネルギーの平均値は温度に比例する ということがわかります。

(1)では分子1個あたりの運動エネルギーの平均値を求めました。(2)では、 n[mol] の 気体分子すべて の内部エネルギーを求めます。

したがって、分子1個の運動エネルギーに分子全部の個数をかければよいですね。n[mol]の気体の分子の個数は、アボガドロ数Nを用いてnN[個]と表せます。

答えから 内部エネルギーUは温度Tとモル数nに比例する ことがわかりますね。また、 内部エネルギーU=(3/2)nRT の関係式は、 単原子分子の場合のみ であることに注意しましょう。