帯電した導線のまわりの電場の大きさE[N/C]を小問の誘導に従って求めていきましょう。

問題文には、 1[C]の電荷から4πk[本]の電気力線が湧き出す とあります。導線には1[m]あたり電気量q[C]が帯電しているので、 +q[C]の電荷からは4πkq[本]の電気力線が湧き出します ね。では、これを半径r[m]、長さ1[m]の円柱で囲むとどうなるでしょうか？

この円筒面を閉曲面として捉えると、 ガウスの法則 から 内から外に貫く電気力線の本数は、内部にある電気量に比例 します。円柱の長さは1[m]なので、その内部にある導線の長さも1[m]になりますね。したがって、導線の電気量はq[C]となり、求めたい本数をN[本]と置くと、
N=4πkq
と求めることができます。

ちなみに、円柱の底面を貫く電場は存在しないので、電気力線は0本です。

円柱の側面の面積S[m²]を考えてから、r[m]離れた位置の電場の大きさE[N/C]を求めます。

半径r[m]、長さ1[m]の円柱の側面積Sは、
S=2πr×1
となります。これは下図のように、側面を展開した図を書くとわかりますよね。

次に電場Eの大きさを求めましょう。電気力線の本数の定義を思い出してください。そもそも、 電気力線の本数は、電場に垂直な単位面積1[m²]あたりE[本]である と定められていましたよね。電場に垂直な閉曲面を考えると、

上図のように、円柱の側面積S[m²]であることがわかります。
つまり、
E×S=N[本]
となります。求めたいのはEの値なので、
E=N/S
として、N=4πkq、S=2πrを代入しましょう。