コイルを磁場中で回転させ、交流電圧を発生させる問題です。

まず、t=0のとき、磁束Φ₀を考えましょう。コイルの面積Sは磁束密度Bに直角なので、
Φ₀=BS
と、簡単に求められます。

ところが、コイルを回転させると、単純にΦ＝BSと計算できません。 磁束密度Bのうち、面積Sに垂直な成分B_⊥を取り出さなければならない のです。そこで、時刻tでのB_⊥がどう表されるかを、図を書いて求めていきます。

時間t[s]後には、コイルは角度ωtだけ進みます。したがって、上図のように、コイルを垂直に貫く磁束密度B_⊥は、 B_⊥=Bcosωt と表されます。

よって、求める磁束Φは、
Φ=B_⊥S=BScosωt
となります。

bを基準としたときのaの電位を求める問題です。1回巻コイルに生じる誘導起電力の大きさVは、ファラデーの電磁誘導の法則より、
V=ΔΦ/Δt
でしたね。あとは符号を考えます。

コイルを貫く磁束は、増加と減少を繰り返し、起電力の向きもコロコロと変わります。このようなケースでは、磁束が増加する場合、つまりΔΦ>0に限定して考えていきましょう。

上向きの磁束が増加するとき、磁束変化を妨げる向きに誘導起電力が生じるので、 起電力は図の時計回りの向き ですね。

すると、bが高電位、aが低電位となります。bは基準0[V]としているので、ΔΦ>0のとき、aは基準よりも低い電位ということになります。したがって、
V=-ΔΦ/Δt
となります。

(1)(2)より、
Φ=B_⊥S=BScosωt ……①
V=-ΔΦ/Δt ……②
とわかりました。①からわかることは、縦軸にΦ、横軸にtをとったΦ-tグラフは、 Φ=BScosωt のcos曲線になるということです。

さらに②からわかることは、 Φ-tグラフの接線の傾きΔΦ/ΔtにマイナスをつけたものがVになる ということです。数学Ⅲの知識を使うと、 Φ=B_⊥S=BScosωtをtで微分してマイナスをつけたもの が求めるVの式になります。 cosbxの微分は-bsinbxになる ので、次のように答えを求めることができます。

増加と減少を繰り返すsin曲線となり、まさに交流のグラフですね。