抵抗R、コイルL、コンデンサーCを交流電源に直列に接続した回路を RLC直列回路 といいます。次の図は、電圧V_e(実効値)の交流電源に抵抗R、コイルL、コンデンサーCをつないだ最もシンプルな RLC直列回路 となります。

この RLC直列回路 で、 回路全体の交流に対する抵抗の値 を求めることを考えていきましょう。

RLC直列回路について詳しく学習する前に、確認しておきたいことがあります。交流電源に抵抗、コンデンサー、コイルを接続したとき、それぞれの 電圧の最大値V₀ と 電流の位相 がどのようになるか、はっきり覚えていますか？

注目してほしいポイントは2つです。1つは、 各部品の抵抗に相当する値 です。 抵抗 では R 、 コイル では 誘導リアクタンスωL 、 コンデンサー では 容量リアクタンス(1/ωC) が抵抗に相当し、すべて単位は[Ω]で表されます。

2つ目は、 電流と電圧の位相差 です。 抵抗 では 同位相 ですが、 コイル では 電流Iは電圧Vより位相が(π/2)後 、 コンデンサー では 電流Iは電圧Vより位相が(π/2)先 となります。

コンデンサーとコイルは、電流と電圧の位相が90°ずれていますが、どちらが先でどちらが後かまぎらわしいですよね。そこで、この2つの順番を覚えるコツを紹介します。

「市民の」を表す英単語「 CIVIL 」を知っていますか？このCをコンデンサー、Lをコイル、Iを電流、Vを電圧として、もう一度この英単語を見てください。「CIVIL」を左から読むと、 C(コンデンサー)は、I(電流)が先で、V(電圧)が後 になります。一方、 V(電圧)が先で、I(電流)が後 になるのが L(コイル) ですね。

もし、位相の関係がわからなくなったら、「CIVIL」という英単語を思い出しましょう。

前置きが長くなってしまいましたね。本題の RLC直列回路 に戻りましょう。

上の図の回路で、電圧V_e(実効値)の交流電源から、電流I_e(実効値)が流れています。抵抗R、コイルL、コンデンサーCにそれぞれかかる電圧の大きさをV_R、V_L、V_Cで表します(すべて実効値)。

まず、この回路で電圧についての関係式を考えてみましょう。単純に電圧降下の和を考えて、
V_e=V_R+V_L+V_C
とするのは誤りです。なぜだか、わかりますか？

答えは、 位相がズレている からです。V_e,V_R,V_L,V_Cはすべて 実効値 ですよね。実効値とは(最大値)÷√2で表される数値です。位相がズレているとき、抵抗、コイル、コンデンサーは、それぞれ 電圧が最大になるタイミングが異なってきます。 V_e,V_R,V_L,V_Cが同じタイミングで回路に存在していない限り、V_e=V_R+V_L+V_Cの等式は成り立たないのです。

では、電圧についてどのような関係式を立てたらよいでしょうか？ このように 位相がズレている ときは、 ベクトルの和 で考えるのがセオリーです。

回路全体を流れる電流I_eのベクトルを真横に取り、位相差を考慮してV_R,V_L,V_Cのベクトルを図示すると次のようになります。

抵抗の電圧V_Rは電流と位相が同じなので、I_eと同じ方向ですね。一方、コイルにかかる電圧V_Lは、電流I_eよりも90°先に進む位相です。コンデンサーにかかる電圧V_Cは、電流I_eよりも90°遅れた位相となります。

このように3つの電圧の位相がバラバラなので、電圧の合計は単純な足し算ではなく、ベクトルの足し算で考えます。 ベクトルV_R,V_L,V_Cの和が、回路全体の電圧の実効値V_eとなる のです。

では、電圧についての等式を立てていきましょう。三平方の定理より、
V_e²=V_R²+(V_L−V_C)²
ここで、電流I_eとの関係がわかるように式変形すると、
V_e²＝(RI_e)²+{ωLI_e−1/(ωC)・I_e}²
V_e＝ √{R²+(ωL−1/(ωC))²} × I_e
となります。最後の式をよく見てください。 オームの法則V=RI の形になっていますね。つまり、RLC直列回路全体の合成抵抗を Z=√{R²+(ωL−1/(ωC))²}[Ω] とすると、 V_e＝ZI_e で表すことができるのです。

RLC直列回路全体の合成抵抗を表すZのことを インピーダンス と言います。インピーダンスZ[Ω]は、 合成抵抗に相当する値 だということを覚えておきましょう。また、Zの中身を公式として覚えるのではなく、それぞれの位相の関係を理解して、自分で導き出せるようにしておきましょう。