量子条件を満たしているときの電子の状態を 定常状態 といい、定常状態における電子のエネルギーを エネルギー準位 と言います。ようするに、この問題では、電子の力学的エネルギーを求めればよいのです。

まず、水素原子の図を描くと下のようになります。

この軌道電子がもつ力学的エネルギーEは、 運動エネルギーKと位置エネルギーUの和 となりますね。

運動エネルギーK は、
K=1/2mv²
となります。

では、 位置エネルギーU はどうなるでしょうか？ 荷電粒子の位置エネルギー は、 (電気量q)×(電位V) で求められましたね。電気量は-e、電位はk×(e/r)なので、
U=(−e)×(ke/r)
となります。

したがって、力学的エネルギーEは、
E=K+U
⇔ E=1/2mv²+(−e)×(ke/r)

ここで、式の中にあるmv²に注目しましょう。mv²は、軌道電子の運動方程式の中にも含まれていましたね。

運動方程式より、
mv²＝ke²/r
として、力学的エネルギーEの式に代入します。
E=1/2mv²+(−e)×(ke/r)
⇔E=(1/2)ke²/r+(−e)×(ke/r)
⇔ E=(-1/2)ke²/r

エネルギーは半径rの関数として表すことができました。

E=(-1/2)ke²/r の式に、問題文で与えられている半径r_nの式を代入すると、エネルギー準位E_nの式になります。

この式において、分数部分は定数であり、 大切なのは1/n₂ です。n=1,2,3,……と代入すると、電子の持つエネルギーが飛び飛びの値を取ることがわかります。