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平行四辺形の証明で知っておくべき5つの方法
1.平行四辺形とは？
平行四辺形は、向かい合う2組の辺が平行な四角形です。
ある四角形について，①2組の対辺がそれぞれ平行であると示せば，平行四辺形であることが証明できるのはわかりますね。
2.ポイント
ただし，「2組の対辺が平行＝平行四辺形」と覚えるだけでは，平行四辺形の証明問題は解けません。ある四角形が平行四辺形であると示すには，全部で5つの方法があります。次の平行四辺形であるための条件は文言まですべて覚えましょう。
平行四辺形であるための条件
覚えることがたくさんあって大変ですよね。暗記のコツは， 「辺・角・対角線」 と 「合わせ技」 です。まず 「辺・角・対角線」 は，
② 2組の対辺がそれぞれ等しい
③ 2組の対角がそれぞれ等しい
④ 対角線はそれぞれの中点で交わる
の3つです。 平行四辺形の性質 の裏返しですね。ある四角形が平行四辺形であれば②，③，④が成り立ちます(平行四辺形⇒②，③，④)。その逆に，ある四角形で②，③，④が成り立てば，平行四辺形であるということが言えるのです(②，③，④⇒平行四辺形)。
これらに加え，次の 「合わせ技」 も覚えましょう。
⑤ 1組の対辺が等しくかつ平行
1組の対辺に注目して，長さが等しいことと，平行であることが両方言えれば，平行四辺形であることが証明できるのです。
平行四辺形であるための条件
この5つは平行四辺形であるための条件として，文言をそのまま覚えましょう。三角形の合同条件と同じように，証明問題ではこの文言が必要となります。
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3. 平行四辺形になる四角形を見つける問題
問題1
四角形ABCDの対角線の交点をOとするとき，四角形ABCDが平行四辺形となるために必要な条件は，次の①～⑧のうちどれか。当てはまるものをすべて選びなさい。
① AD//BC，AD=BC ② AD//BC，AB=DC
③ ∠A=∠C，∠B=∠D ④ ∠A=∠D，∠B=∠C
⑤ AB=DC，AD=BC ⑥ AB=AD，BC=CD
⑦ OB=OC，OD=OA ⑧ OA=OC，OB=OD
問題の見方
四角形が平行四辺形であるための条件を振り返りましょう。
平行四辺形であるための条件
この5つの条件のどれかを満たせば，平行四辺形であると言えます。
解答
① AD//BC，AD=BC ② AD//BC，AB=DC
③ ∠A=∠C，∠B=∠D ④ ∠A=∠D，∠B=∠C
⑤ AB=DC，AD=BC ⑥ AB=AD，BC=CD
⑦ OB=OC，OD=OA ⑧ OA=OC，OB=OD
$$\underline{①，③，⑤，⑧}……(答え)$$
①は「1組の対辺が等しく，かつ平行」
③は「2組の対角がそれぞれ等しい」
⑤は「2組の対辺がそれぞれ等しい」
⑧は「対角線がそれぞれ中点で交わる」
映像授業による解説
4. 平行四辺形であることを証明する問題
問題2
四角形ABCDの対角線の交点をOとする。このとき，AB//DC，BO=DOならば，四角形ABCDは平行四辺形となることを証明しなさい。
問題の見方
四角形ABCDについて，次の平行四辺形であるための条件①～⑤のどれに当てはまるかを考えましょう。
平行四辺形であるための条件
問題文には，AB//DCという条件があるので，①か⑤の条件が近そうですね。あとは，AD//BCかAB=DCが言えれば，平行四辺形であることが言えます。
さらにBO=DOに着目しましょう。BOを含む△ABOと，DOを含む△CDOの合同が言えれば，AB=DCにまでつなげられます。
解答
△AOBと△CODにおいて，
仮定から，
BO=DO ……①，AB//DC ……②
平行線の錯角は等しいから，
∠ABO=∠CDO ……③
対頂角は等しいから，
∠AOB=∠COD ……④
①，③，④より，1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから，
△AOB≡△COD
対応する辺は等しいから，
AB=CD ……⑤
②，⑤より，1組の対辺が等しく，かつ平行であるから，
四角形ABCDは平行四辺形である。 (証明終わり)
映像授業による解説
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この記事は、 「平行四辺形の証明問題がわからない…」という人に向けて解説 します。数学が苦手な人でもこの記事を読めば、簡単に平行四辺形に関する証明問題が解ける ようになります。