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「円周角の定理」の3大重要ポイント
1.「円周角」と「中心角」とは？
まずは，円周角と中心角がどこを指すか確認しておきましょう。
上の図で，2点A，Bをつなぐ円周上の曲線を弧ABと呼びましたね。弧ABをのぞく円周上に点Pをとるとき，∠APBを円周角と言います。また円の中心をOとするとき，∠AOBを中心角と呼びます。
2.ポイント
円周角の定理は，円周角と中心角について成り立つ法則です。円で角度を求める問題では，必ずと言っていいほど活用する定理なので，しっかり覚えましょう。円周角の定理にまつわる重要ポイントは3つです。順に解説していきます。
円周角の定理
重要ポイント①は，円周角の定理です。定理そのものをしっかり覚えてください。まず，1つの弧ABに対する円周角の大きさは一定になります。つまり，上の左図では，点Pの位置を円周上(弧ABを除く)のどこに動かしても，∠APBの大きさは等しくなるのです。∠APB=∠AP'Bだとわかりますね。そして，1つの弧ABに対する円周角の大きさは，中心角の半分になります。上の右図では，∠APBは∠AOBの半分の大きさです。例えば，中心角∠AOBが120°であれば，円周角∠APBは半分の60°になるわけです。
2つ目の重要ポイントは，円周角と弧の関係です。円周角の定理をもとに，次の性質が導けます。
円周角と弧の関係
1つの円で円周角が等しいとき，それに対する弧の長さも等しいことが言えます。逆に，1つの円で弧の長さが等しいとき，それに対する円周角も等しいと言えます。
3つ目の重要ポイントは，円周角と直径の関係です。
円周角と直径の関係
弧ABが半円であるとき，中心角∠AOB=180°であり，円周角∠APB=90°となりますね。このときちょうど線分ABは直径になるので，直径に対する円周角は90°となります。正しい表現は半円の弧に対する円周角は90°ですが， 「直径が出てきたら，円周角は90°」 と頭に入れておきましょう。
これら3つのポイントはどれも重要です。円における根幹の性質で，計算でいえば九九くらい大事なポイントです。必ず覚えておきましょう。
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3. 円の角度を求める問題①
問題1
図で，円の中心はOである。∠xの大きさをそれぞれ求めなさい。
問題の見方
円の角度を求める問題です。円周角の定理を活用しましょう。
円周角の定理
(1)~(4)について，∠xをつくっている弧に着目します。この弧の対する中心角や円周角が見つかれば，円周角の定理によって，∠xの角度を求めることができます。
解答
(1)
$$∠x=100^\circ÷2=\underline{50^\circ}……(答え)$$
(2)
$$∠x=230^\circ÷2=\underline{115^\circ}……(答え)$$
(3)
$$∠x=360^\circ-(60^\circ×2)=\underline{240^\circ}……(答え)$$
(4)
$$∠x=\underline{56^\circ}……(答え)$$
映像授業による解説
4. 円の角度を求める問題②
問題2
図で，円の中心はOである。∠xの大きさをそれぞれ求めなさい。
問題の見方
円の角度を求める問題です。円周角と弧の関係を活用しましょう。
円周角と弧の関係
1つの円で，弧の長さが等しいとき，円周角も等しくなります。(1)は∠xが中心角で，円周角の2倍の大きさとなることに注意してください。(2)は弧BDの長さが，弧ABの長さの2倍であることに注目します。
解答
(1)
$$∠x=35^\circ×2=\underline{70^\circ}……(答え)$$
(2)
$$∠x=25^\circ×2=\underline{50^\circ}……(答え)$$
映像授業による解説
5. 円の角度を求める問題③
問題2
図で，円の中心はOである。∠xの大きさをそれぞれ求めなさい。
問題の見方
円の角度を求める実践的な問題です。
(1)
円周角の定理に加え，三角形の外角の和の公式を活用しましょう。
円周角は，中心角100°の大きさの半分で50°ですね。これと三角形の外角の和の公式を使うと，
$$50^\circ+∠x=100^\circ$$
と立式できます。
(2)
円周角の定理に加え，円周角と直径の関係を活用しましょう。
円に直径が描かれているときは，必ずその円周角に着目してください。半円に対する円周角は90°です。これと円周角の定理を使うと，三角形の内角の和から∠xを求められます。
(3)
一見，∠x=30°……としてしまいそうですが，よく見てください。∠xと30°の角は，弧を共有していません。ここでは，中心角40°に注目して，円周角20°を書き込んでみましょう。
左の三角形と右の三角形の外角に注目して，
20°+∠x=40°+30°
と立式しましょう。
解答
(1)
$$(100^\circ÷2)+∠x=100^\circ$$
$$∠x=\underline{50^\circ}……(答え)$$
(2)
$$50^\circ+90^\circ+∠x=180^\circ$$
$$∠x=\underline{40^\circ}……(答え)$$
(3)
$$(40^\circ÷2)+∠x=40^\circ+30^\circ$$
$$∠x=\underline{50^\circ}……(答え)$$
映像授業による解説
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この記事は、 「円の角度の問題がわからない…」という人に向けて解説 します。数学が苦手な人でもこの記事を読めば、円周角の定理と円の角度に関する問題がサクッと解ける ようになります。